Вычисление  обратной матрицы.

Рассмотрим  квадратную матрицу

    

    Квадратная  матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю.

    Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

    АВ= ВА=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

    Матрица, обратная к А, обозначается через А^-1, так что В= А^-1. Для матрицы А обратная ей матрица А^-1 определяется однозначно.

    Справедливы следующие равенства:

1. D(А^-1)=(DА)^-1;
2. (А^-1)^-1=А;
3. (А₁А₂)^-1=А₂^-1А₁^-1;
4. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т.

    Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:

    

Предположим, что DА¹0. Построим следующую матрицу С следующим образом:

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

    Полученная  таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.

    Чтобы получить матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на DА, т.е. матрица А^-1 будет иметь следующий вид:

    

 

    Пусть матрица А, имеет следующий вид:

    

    Чтобы найти матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо:

• вычислить определитель матрицы (DА= -3);
• найти алгебраические дополнения элементов а_ij  в определителе матрицы А:

    

• составить присоединённую матрицу С по формуле (2);
• разделить все элементы матрицы С на DА.

    Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excel найдём обратную матрицу А^-1 (по формуле (3)) для матрицы А.

1. Включите  компьютер.
2. Подождите пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно Microsoft Word.
3. Вставьте объект Microsoft Equation  3.0.
4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:

• запишите  алгебраическое дополнение А₁₂., используя шаблон нижних индексов ;

• вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;
• занесите числовые значения определителя в свободные поля;

    Повтором  предыдущих действий, запишите в редакторе  формул дополнения А₁₂-А₄₄ (см. рис. 8.1)

    В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel.

5. Откройте окно Microsoft Excel.
6. Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel(см. рис. 8.2).

Рис. 8.1       Рис. 8.2

7. Используя функцию МОПРЕД, которая  находится в мастере  функций ƒ_х, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:

• активизируйте ячейку D9;

• выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒ_х в стандартной панели задач;
• в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;
• выделите область A6¸C8;
• выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК (рис. 8.3).

    Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А₁₁= -45, А₁₂= 20, А₁₃=1, А₁₄=-17, А₂₁=63, А₂₂= -31, А₂₃=1, А₂₄=25, А₃₁= -6, А₃₂=3, А₃₃=3,33Е-16, А₃₄= -3, А₄₁=12, А₄₂= -5, А₄₃= -1, А₄₄=5.

    Как вы видите, значение дополнения А₃₃ записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:

• активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;
• на экране компьютера появится контекстное меню;
• выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);

                  Рис. 8.4 

• после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);

• выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК. После чего алгебраическое дополнение А₃₃=0 см. рис. 8.6

 

• Далее, в  тексте задачника, если будут встречаться  числа с мантиссой или бесконечные  десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.

8. Найдём в Excel матрицу А^-1, обратную для А. Для этого:

• заполните ячейки А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).

                  Рис. 8.7      Рис. 8.8

• активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8).
• Выделите область А28¸D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).

                  Рис. 8.9      Рис. 8.10

9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:

• выделите область F28¸I31;

• воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒ_х (категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);
• на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

    В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений. 

Задания для самостоятельной  работы.