Взаимосвязь между тензорами напряжений и деформаций. Обобщенный закон Гука

     1.4 Взаимосвязь между  тензорами напряжений  и деформаций. Обобщенный  закон Гука

     Зависимости между напряжениями и деформациями носят физический характер. Ограничиваясь  малыми деформациями, связь между  напряжениями и деформациями можно  считать линейной (рис.1.6).

Рис.1.6. Диаграмма растяжения стали

     В общем случае анизотропии каждая составляющая напряжения может зависеть от всех составляющих деформации:

     Коэффициенты  (общим числом 36) называются упругими постоянными. Если рассматривать только упругие процессы деформирования, при которых после снятия нагрузок форма и размеры тела полностью восстанавливаются, то между коэффициентами существует зависимость:

      = . 

     Тогда число упругих постоянных уменьшается до 21.

     Для изотропного тела уравнения (1.58) не должны изменяться при любых преобразованиях  координат. Осуществляя поворот  осей на 180⁰, можно установить, что нормальные напряжения не связаны с угловыми деформациями, а касательные — с линейными, что снижает количество упругих постоянных до 12. Кроме того, касательные напряжения не связаны с упругими деформациями в других плоскостях, а это уменьшает количество упругих постоянных до девяти. Наконец, после поворота осей на 90⁰ и на произвольный угол число упругих постоянных становится равным двум, которые известны из курса сопротивления материалов.

     При испытании стержня на растяжение установлена пропорциональная зависимость  между нормальным напряжением и  линейной деформацией в одном  направлении, которая называется законом Гука:

где упругая постоянная называется модулем продольной упругости.

     Тем же экспериментальным путем установлена  связь между линейными деформациями в продольном и поперечном направлениях:

где — линейная деформация в поперечном направлении, — вторая упругая постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.

     При механических испытаниях на чистый сдвиг  установлена прямо пропорциональная зависимость между касательным  напряжением и угловой деформацией  в плоскости действия этого напряжения, которая получила название закона Гука при сдвиге:

где величина является третьей упругой постоянной и называется модулем сдвига. Однако эта упругая постоянная не является независимой, т.к. связана с первыми двумя зависимостью

     Чтобы установить зависимости между составляющими  деформации и напряжениями, выделим  из тела бесконечно малый параллелепипед (рис.1.1) и рассмотрим действие только нормальных напряжений Разницей между напряжениями на противоположных гранях параллелепипеда можно пренебречь, т.к. она приводит к деформациям более высокого порядка малости.

     Определим удлинение ребра  параллельного напряжению При действии этого напряжения согласно закону Гука (1.59) произойдет относительное удлинение ребра

     

     Напряжение  вызывает аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру

     

а в  направлении самого ребра — укорочение, которое согласно (1.60) составляет

     

или, с  учетом выражения деформации

     

     Аналогично  определяется относительное укорочение ребра  при действии напряжения

     

     На  основании принципа независимости  действия сил полное относительное  удлинение ребра  можно определить как сумму удлинений от действия каждого напряжения:

     

или

     

     Аналогично  можно определить линейные деформации по направлениям двух других осей:

     

     

     В соответствии с законом Гука при  сдвиге (1.61) связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями можно представить независимо для  каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:

     

     Таким образом, получены шесть формул, которые  выражают линейную зависимость между  составляющими деформации и напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука:

     Зависимости (1.63) выражают деформации через напряжения, но при решении задач иногда оказывается  необходимым выразить напряжения через  деформации.

     В качестве вспомогательных выведем предварительно соотношения для объемной деформации. Сложим почленно первые три формулы (1.63):

     На  основании (1.15) и (1.39)

     

поэтому (1.64) можно представить в виде

т.е. относительная  объемная деформация пропорциональна  первому инварианту напряженного состояния.

     Введем  в рассмотрение модуль объемного  расширения

тогда

     Учитывая, что 

первый  инвариант напряженного состояния  можно заменить утроенным средним  напряжением в точке, и вместо (1.67) получим

     Следовательно, среднее напряжение в точке пропорционально  объемной деформации.

     Чтобы выразить напряжения через деформации прибавим и вычтем в квадратных скобках  первой формулы (1.63) величину

     

или, выделяя  первый инвариант напряженного состояния  согласно (1.15),

      .

     Подставляя  из (1.65), получим

     

откуда

     Введем  обозначения

тогда (1.70) принимает вид

     Упругие постоянные и характеризуют упругие свойства материала и называются коэффициентами Ламе. Сравнивая (1.62) и (1.71), можно сделать вывод, что

     Аналогичным образом можно получить выражения  для  и Эти три зависимости и последние три формулы (1.63), записанные относительно касательных напряжений, образуют шесть соотношений, которые называются обратной формой обобщенного закона Гука:

     Сложим  почленно первые три формулы (1.73):

     

или, с  учетом (1.15) и (1.39),

     Это соотношение устанавливает связь  между первыми инвариантами напряженного и деформированного состояний через  постоянные Ламе.

     Вновь заменяя первый инвариант напряженного состояния  утроенным средним напряжением в точке а объемную деформацию — утроенной средней деформацией точки, получим еще одну форму закона Гука: