Задача коммивояжера

Задача коммивояжера

Введение

Комбинаторика – раздел математики, посвящённый решению  задач выбора и расположения элементов  некоторого, обычно конечного множества  в соответствии с заданными правилами.

Каждое такое правило  определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы существования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизацию таких алгоритмов, а также решение задач перечисления, в частности определение числа конфигураций данного класса. Простейшим примером комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения.

Большой вклад в систематическое  развитие комбинаторных методов  был сделан Г. Лейбницем (диссертация  «Комбинаторное искусство»), Я. Бернулли (работа «Искусство предположений»), Л. Эйлером. Можно считать, что с  появлением работ Я. Бернулли и  Г. Лейб-ница комбинаторные методы выделились в самостоятельную часть математики. В работах Л.Эйлера по разбиениям и композициям натуральных чисел на слагаемые было положено начало  одному из основных методов перечисления комбинаторных конфигураций – методу производящих функций.  

Возвращение интереса к  комбинаторному анализу относится  к 50-м годам ХХ в. в связи с  бурным развитием кибернетики и  дискретной математики и широким  использованием электронно-вычислительной техники. В этот период активизировался  интерес к классическим комбинаторным задачам.

 Классические комбинаторные  задачи – это задачи выбора  и расположения элементов конечного  множества, имеющие в качестве  исходной некоторую формулировку  развлекательного содержания типа  головоломок.

В 1859 г. У. Гамильтон придумал игру «Кругосветное путешествие», состоящую в отыскании такого пути, проходящего через все вершины (города, пункты назначения) графа, изображенного на рис. 1, чтобы посетить каждую вершину однократно и возвратиться в исходную. Пути, обладающие таким свойством, называются гамильтоновыми циклами.

Задача о гамильтоновых  циклах в графе получила различные  обобщения. Одно из этих обобщений –  задача коммивояжера, имеющая ряд  применений в исследовании операций, в частности при решении некоторых  транспортных проблем.

Задача коммивояжера. Общее описание

Задача коммивояжера (в дальнейшем сокращённо - ЗК) является одной из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и об неё, как об Великую  теорему Ферма обламывали зубы лучшие математики. В своей области (оптимизации дискретных задач) ЗК служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы.

Постановка задачи следующая.

Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2,1,3..n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?

Чтобы привести задачу к  научному виду, введём некоторые термины. Итак, города перенумерованы числами jÎТ=(1,2,3..n). Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой t=(j1,j2,..,jn,j1), причём все j1..jn – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j1, показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин  Сij образуют матрицу С. Задача состоит в том, чтобы найти такой тур t, чтобы минимизировать функционал

 

Относительно математизированной формулировки ЗК уместно сделать  два замечания.

Во-первых, в постановке Сij означали расстояния, поэтому они должны быть неотрицательными, т.е. для всех jÎТ:

Сij³0; Cjj=∞

(2)

(последнее равенство  означает запрет на петли в  туре), симметричными, т.е.  для  всех i,j:

Сij= Сji.

(3)

и удовлетворять неравенству  треугольника, т.е. для всех:

Сij+ Сjk³Cik

(4)

В математической постановке говорится о произвольной матрице. Сделано это потому, что имеется много прикладных задач, которые описываются основной моделью, но всем условиям (2)-(4) не удовлетворяют. Особенно часто нарушается условие (3) (например, если Сij – не расстояние, а плата за проезд: часто туда билет стоит одну цену, а обратно – другую). Поэтому мы будем различать два варианта ЗК: симметричную задачу, когда условие (3) выполнено, и несимметричную - в противном случае. Условия (2)-(4) по умолчанию мы будем считать выполненными.

Второе замечание касается числа  всех возможных туров. В несимметричной ЗК все туры t=(j1,j2,..,jn,j1) и t’=(j1,jn,..,j2,j1) имеют разную длину и должны учитываться оба. Разных туров очевидно (n-1)!.

Зафиксируем на первом и последнем  месте в циклической перестановке номер j1, а оставшиеся n-1 номеров переставим всеми (n-1)! возможными способами. В результате получим все несимметричные туры. Симметричных туров имеется в два раз меньше, т.к. каждый засчитан два раза: как t и как t’.

Можно представить, что С состоит только из единиц и нулей. Тогда С можно интерпретировать, как граф, где ребро (i,j)  проведено, если Сij=0 и не проведено, если Сij=1. Тогда, если существует тур длины 0, то он пройдёт по циклу, который включает все вершины по одному разу. Такой цикл называется гамильтоновым циклом. Незамкнутый гамильтонов цикл называется гамильтоновой цепью (гамильтоновым путём).

В терминах теории графов симметричную ЗК можно сформулировать так:

Дана полная сеть с n  вершинами, длина ребра (i,j)= Сij. Найти гамильтонов цикл минимальной длины.

В несимметричной ЗК вместо «цикл» надо говорить «контур», а вместо «ребра» - «дуги» или «стрелки».

Некоторые прикладные задачи формулируются как ЗК, но в них  нужно минимизировать длину не гамильтонова цикла, а гамильтоновой цепи. Такие задачи называются незамкнутыми. Некоторые модели сводятся к задаче о нескольких коммивояжерах, но мы здесь их рассматривать не будем.

1.2. Методы решения  ЗК

1.2.1. Жадный  алгоритм

 Жадный алгоритм – алгоритм  нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность.

 

 

Посмотрим, как поведет себя при решении ЗК жадный алгоритм. Здесь он превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть на рис. 2, представляющую узкий ромб. Пусть коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм «иди вы ближайший город» выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур.

В пользу процедуры «иди в ближайший» можно сказать лишь то, что при старте из одного города она не уступит стратегии «иди в дальнейший».

Как видим, жадный алгоритм ошибается. Можно ли доказать, что  он ошибается умеренно, что полученный им тур хуже минимального, положим, в 1000 раз? Мы докажем, что этого доказать нельзя, причем не только для жадного логарифма, а для алгоритмов гораздо более мощных. Но сначала нужно договориться, как оценивать погрешность неточных алгоритмов, для определенности, в задаче минимизации. Пусть fB - настоящий минимум, а         fA - тот квазиминимум, который получен по алгоритму. Ясно, что fA/ fB≥1, но это – тривиальное утверждение, что может быть погрешность. Чтобы оценить её, нужно зажать отношение оценкой сверху:

fA/fB ≥1+ nε,

(5)

где, как обычно в высшей математике, ε≥0, но, против обычая, может  быть очень большим. Величина ε и  будет служить мерой погрешности. Если алгоритм минимизации будет  удовлетворять неравенству (5), мы будем  говорить, что он имеет погрешность  ε.

Предположим теперь, что имеется алгоритм А решения ЗК, погрешность которого нужно оценить. Возьмем произвольный граф G (V,E) и по нему составим входную матрицу ЗК:

С[i,j]={	1,если ребро (i,j) принадлежит Е
	1+nε  в противном случае

Если в графе G есть гамильтонов цикл, то минимальный тур проходит по этому циклу и fB = n. Если алгоритм А тоже всегда будет находить этот путь, то по результатам алгоритма можно судить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе. Однако, непереборного алгоритма, который мог бы ответить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе, до сих пор никому не известно. Таким образом, наш алгоритм А должен иногда ошибаться и включать в тур хотя бы одно ребро длины 1+nε. Но тогда fA³(n-1)+(1+nε) так что fA/fB=1+nε т.е. превосходит погрешность ε на заданную неравенством (5). О величине ε в нашем рассуждении мы не договаривались, так что ε может быть произвольно велик.

Таким образом доказана следующая теорема.

Либо алгоритм А определяет, существует ли в произвольном графе  гамильтонов цикл, либо погрешность А при решении ЗК может быть произвольно велика.

Это соображение было впервые опубликовано Сани и Гонзалесом в 1980 г. Теорема  Сани-Гонзалеса основана на том, что  нет никаких ограничений на длину  ребер. Теорема не проходит, если расстояния подчиняются неравенству треугольника (4).

Если оно соблюдается, можно  предложить несколько алгоритмов с  погрешностью 12. Прежде, чем описать  такой алгоритм, следует вспомнить  старинную головоломку. Можно ли начертить одной линией открытый конверт? Рис.2 показывает, что можно (цифры на отрезках показывают порядок их проведения). Закрытый конверт (рис.3.) одной линией нарисовать нельзя и вот почему. Будем называть линии ребрами, а их перекрестья – вершинами.

Когда через точку проводится линия, то используется два ребра – одно для входа в вершину, одно – для выхода. Если степень вершины нечетна – то в ней линия должна начаться или кончиться. На рис. 3 вершин нечетной степени две: в одной линия начинается, в другой – кончается. Однако на рис. 4 имеется четыре вершины степени три, но у одной линии не может быть четыре конца. Если же нужно прочертить фигуру одной замкнутой линией, то все ее вершины должны иметь четную степень.

Верно и обратное утверждение: если все вершины имеют четную степень, то фигуру можно нарисовать одной незамкнутой линией. Действительно, процесс проведения линии может кончиться, только если линия придет в вершину, откуда уже выхода нет: все ребра, присоединенные к этой вершине (обычно говорят: инцидентные этой вершине), уже прочерчены. Если при этом нарисована вся фигура, то нужное утверждение доказано; если нет, удалим уже нарисованную часть G’. После этого от графа останется одна или несколько связных компонент; пусть G’ – одна из таких компонент. В силу связности исходного графа G, G’ и G’’ имеют хоть одну общую вершину, скажем,  v. Если в G’’ удалены какие-то ребра, то по четному числу от каждой вершины. Поэтому G’’ – связный и все его вершины имеют четную степень. Построим цикл в G’’ (может быть, не нарисовав всего G’’) и через v добавим прорисованную часть G’’ к G’. Увеличивая таким образом прорисованную часть G’, мы добьемся того, что G’ охватит весь G.

Эту задачу когда-то решил Эйлер, и  замкнутую линию, которая покрывает  все ребра графа, теперь называю  эйлеровым циклом. По существу была доказана следующая теорема.

Эйлеров цикл в графе существует тогда и только тогда, когда (1) граф связный и (2) все его вершины  имеют четные степени.

 

1.2.2. Деревянный алгоритм.

Теперь можно обсудить алгоритм решения ЗК через построение кратчайшего остовного дерева. Для краткости будет называть этот алгоритм деревянным.

Вначале обсудим свойство спрямления. Рассмотрим какую-нибудь цепь, например, на рис.5. Если справедливо неравенство  треугольника, то d[1,3]£d[1,2]+d[2,3] и d[3,5]£d[3,4]+d[4,5]                                                       Сложив эти два неравенства, получим d[1,3]+d[3,5]£d[1,2]+d[2,3]+d[3,4]+d[4,5]. По неравенству треугольника получим. d[1,5]£d[1,3]+d[3,5]. Окончательно

d[1,5]£ d[1,2]+d[2,3]+d[3,4]+d[4,5]

Итак, если справедливо неравенство треугольника, то для каждой цепи верно, что расстояние от начала до конца цепи меньше (или равно) суммарной длины всех ребер цепи. Это обобщение расхожего убеждения, что прямая короче кривой.

Вернемся к ЗК и опишем решающий ее деревянный алгоритм.

Построим на входной сети ЗК кратчайшее остовное дерево и удвоим все его ребра. Получим граф G – связный и с вершинами, имеющими только четные степени.

Построим эйлеров цикл G, начиная с вершины 1, цикл задается перечнем вершин.

Просмотрим перечень вершин, начиная с 1, и будем зачеркивать каждую вершину, которая повторяет уже встреченную в последовательности. Останется тур, который и является результатом алгоритма.

Пример 1. Дана полная сеть, показанная на рис.5. Найти тур жадным и деревянным алгоритмами.

-	1	2	3	4	5	6
1	-	6	4	8	7	14
2	6	-	7	11	7	10
3	4	7	-	4	3	10
4	8	11	4	-	5	11
5	7	7	3	5	-	7
6	14	10	10	11	7	-
табл. 1