Задачи по "Финансовой математике"

Задача №1.

В 2001 г. в Ваш  день рождения в банке был открыт счет до востребования на сумму 5000 рублей, ставка - 2% годовых. По условиям договора вклада начисление и капитализация процентов осуществляются по истечении каждого календарного квартала. Сколько денег получит клиент банка при закрытии счета в этот же день в 2002 г.?

 

Решение:

Начисление будет происходить  по сложной ставке процента:

S=P(l+i)ⁿ

где S - наращенная сумма;

Р - первоначальная сумма;

 i - годовая ставка процента;

n - срок вклада в годах.

За период с 10 ноября до конца года (51 день): 5000*(1,02)^51/365=5013,85

За период с 1 января до 1 апреля (90 дней): 5013,85*(1,02)^90/365=5038,39

За период с 1 апреля до 1 июля (91 день): 5038,39*(1,02)^91/365=5063,33

За период с 1 июля до 1 октября (92 дня): 5063,33*(1,02)^92/365=5088,67

За период с 1 октября до 10 ноября (41 дней): 5088,67*(1,02)^40/365=5099,72

Ответ: при закрытии вклада 10.11.2002 клиент получит сумму 5099р.72коп

 

Задача №2.

Какой была бы эта сумма (См. задачу 1), если бы начисление процентов и их капитализация осуществлялись а) лишь по истечении календарного года; б) ежедневно; в) непрерывно?

 

Решение

а) начисление процентов и их капитализация по истечении календарного года

За период с 10 ноября до конца года (51 день): 5000*(1,02)^51/365=5013,85

За период с 1 января до 10 ноября (314 дней): 5013,85*(1,02)^314/365=5099,99

б) начисление процентов и их капитализация ежедневно

5000*(1+0,02/365)³⁶⁵=5101,00

в) начисление процентов и их капитализация непрерывно

5000*℮^0,02=5101,01,

где ℮ ≈ 2,718281 (число Эйлера)

Ответ:

а) 5099р. 99коп.;

б) 5101р.;

в) 5101р. 01 коп.

 

Задача №3.

Дайте ответ  на вопрос, поставленный в задаче 1, если на такую же сумму в тот  же день был открыт срочный вклад  на 30 дней с автоматическим продлением условий вклада на новый срок в случае неявки клиента. Ставка - 8% годовых.

 

Решение

Так как по условиям срочного вклада проценты начисляются  за полный период, в случае досрочного снятия денег проценты не выплачиваются, то вклад за год пролежит в банке полных 12 периодов начисления - 360 дней.

После окончания срока  и не снятии вклада проценты капитализируются, т.е. капитализация происходит каждые 30 дней - 12 раз.

Сумма полученная клиентом определится по ставке сложных процентов:

S=5000*(l+0,08*30/365)¹²=5409,10

Ответ: Сумма полученная клиентом 5409р. 10 коп.

Задача №4.

Рассчитайте годовую  эффективную ставку процента для  срочного вклада на 90 дней под 10% годовых.

 

Решение

Эффективная ставка процента рассчитывается по следующей формуле:

r₃=[(l+n/m)^m-l],

где n - номинальная годовая ставка процента, используемая при начислении процентов (то есть процент за период исчисляется исходя из этой ставки);

m - число периодов начисления процентов в году.

г_э=[(1+0,1/4)⁴- 1]=21,55%

Ответ: Годовая эффективная ставка равна  21,55%

 

Задача №5.

Срочный вклад  на 90 дней открыт 15 августа 2002 г. на сумму 200000 рублей. Расчетная ставка – 18% годовых. Какой будет величина подоходного  налога, уплачиваемого вкладчиком по окончании срока вклада, если предположить, что на протяжении всего периода ставка рефинансирования Центрального Банка останется такой же, какой она была 15 августа?

 

Решение

Ставка рефинансирования 15 августа 2002 составляла 21%. (на период с 07.08.2002 по 16.02.2003)

Подоходный налог необходимо платить, если полученные проценты превышают 3/4 ставки рефинансирования (ст. 217 п.27 НК РФ):

3/4*21=15,75 %.

Таким образом, облагаемая сумма составит:

200000*(0,18-0,1575)*90/360=1125руб.

Ставка процента 35%. Величина подоходного налога составит:

1125*0,35=393,75 руб.

Ответ: Величина подоходного налога составит 393р. 75коп.

 

Задача №6.

Годовая эффективная  ставка процента по срочным вкладам  на год во всех банках составляет 18%. Пусть вероятность банкротства  любого банка в течение ближайшего года составляет 5%. Банкротство банка  означает потерю всех вложенных в него денег. Определите математическое ожидание получаемой через год суммы, вероятности получить максимум и потерять все в случае, если: а) все 300000 руб. вложены в один банк; б) если деньги поровну распределены между двумя банками; в) если деньги поровну распределены между тремя банками. Задачу решить в предположении, что банкротство одних банков никак не сказывается на положении других.

 

Решение

а) Построим ряд распределения.

Если все средства вложены в 1 банк, то банк может обанкротиться с вероятностью р=0,05 или не обанкротится с вероятностью р=0,95.

Если банк не обанкротится, то сумма, получаемая через год, составит:

300000*(1+0,18)=354000 тыс. руб.

Если обанкротится, то 0.

pi	0,5	0,95
xi	0	354000

 

 

В этом случае вероятность  получить максимум равна p=0,95=95%, вероятность потерять все равна р=0,05=5%

Математическое ожидание получаемой через год суммы:

M=∑p_i*x_i=0*0,05+354000*0,95=336300 руб.

б) если деньги поровну  распределены между двумя банками, то могут обанкротиться оба банка с вероятностью р=0,05*0,05=0,0025, тогда полученная сумма будет равна 0.

Может обанкротиться первый банк, а второй нет р=0,05*0,95=0,0475, тогда полученная сумма будет равна:

0*150000+150000*(1+0,18)=177000

Может обанкротиться второй банк, а первый нет р=0,05*0,95=0,0475, тогда полученная сумма будет равна:

0*150000+150000*(1+0,18)=177000

Таким образом, вероятность получения 177000 равна:

р=0,0475+0,0475= 0,095

Оба банка не обанкротятся р=0,95*0,95=0,9025, тогда полученная сумма будет равна:

150000*(1+0,18)+150000*(1+0,18)=354000

 

 

Ряд распределения:

p	0,0025	0,095	0,9025
x	0	177000	354000

В этом случае вероятность получить максимум равна  р=0,9025=90,25%,

Вероятность потерять все равна р=0,0025=0,25%.

Математическое ожидание получаемой через год суммы:

M=∑P_i*X_i=0*0,0025+177000*0,095+354000*0,9025=0+16815+319485=

=336300 руб.

в) если деньги поровну  распределены между тремя банками, то могут обанкротиться все три банка с вероятностью р=0,05*0,05*0,05=0,000125, тогда полученная сумма будет равна 0.

Может обанкротиться первый и второй банк, а третий нет р=0,05* 0,05*0,95=0,002375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*0+100000*0+100000*(1+0,18)=118000

Может обанкротиться первый и третий банк, а второй нет р=0,05 * 0,95 * 0,05=0,002375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*0+100000*(1+0,18)+100000*0=118000

Может обанкротиться второй и третий банк, а первый нет р=0,95*0,05*0,05=0,002375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*0+100000*0=118000

Таким образом вероятность получения 118000 равна р=0,002375*3= 0,007125

Может обанкротиться первый банк, а второй и третий нет р=0,05*0,95*0,95=0,045125, тогда полученная сумма будет равна:

100000*0+100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)=236000

Может обанкротиться второй банк, а первый и третий нет р=0,95*0,05*0,95=0,045125, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*0+100000*(1+0,18)=236000

Может обанкротиться третий банк, а первый и второй нет р=0,95*0,95*0,05=0,045125, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)+100000*0=236000

Таким образом вероятность получения 236000 равна р=0,045125*3= 0,135375

Все банки не обанкротятся р=0,95*0,95*0,95=0,857375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)=354000

Ряд распределения:

 

p	0,000125	0,007125	0,135375	0,857375
x	0	118000	236000	354000

В этом случае вероятность  получить максимум равна р=0,857275=85,7275%, вероятность потерять все равна р=0, 000125=0,0125%.

Математическое ожидание получаемой через год суммы:

M=∑p_i*x_i=0*0,000125+118000*0,007125+236000*0,135375+354000*0,857275= =0+840,75+31948,5+303510,75= 336300 руб.

Ответ:

а) Математическое ожидание получаемой через год суммы равно 336300 руб., вероятность получить максимум равна 95%, потерять все равно 5%;

б) Математическое ожидание получаемой через год суммы равно 336300 руб., вероятность получить максимум равна 90,25%, потерять все равно 0,25%;

в) Математическое ожидание получаемой через год суммы равно 336300 руб., вероятность получить максимум равна 85,7275%, потерять все равно 0,0125%.

 

Задача №7.

Годовая эффективная  ставка процента по срочным рублевым вкладам - 18%. Ожидаемый рост курса  доллара в течение ближайших 12 месяцев - 12%. Определите, при каких  относительных различиях между  ценами покупки и продажи в  обменных пунктах имеющему доллары и нуждающемуся через год в долларах целесообразно: а) продолжать хранить их в наличной форме; б) поменять на рубли, открыть срочный вклад и через год поменять возросшую рублевую сумму на доллары.

 

Решение

Пусть x - цена доллара на сегодняшний день, а i - это относительная разница между ценами покупки и продажи в обменных пунктах.

Тогда цена, по которой  продуются доллары в обменных пунктах равна х, цена покупки равна х(1- i)

Рост курса доллара  в течение ближайших 12 месяцев - 12%.

Тогда цена, по которой продуются доллары в обменных пунктах равна 1,12х, цена покупки равна 1,12х(1- i)

Если доллары  хранить в наличной форме, то их цена через год составит 1,12х

Если обменять их на рубли, открыть срочный вклад и через  год поменять возросшую рублевую сумму на доллары то их цена составит 1,18х(1- i). Найдем размер i при котором цены будут равны:

1,12х=1,18х(1-i)

1,0536(1-i)=1

l-i=0,949

i=0,051

Ответ:

а) выгоднее продолжать хранить  их в наличной форме при различиях между ценами покупки и продажи в обменных пунктах более 5,1 процентного пункта.

б) выгоднее поменять на рубли, открыть срочный вклад  и через год поменять возросшую рублевую сумму на доллары при различиях между ценами покупки и продажи в обменных пунктах менее 5,1 процентного пункта.

 

Задача №8.

Пусть сегодня  в обменных пунктах российских банков цена покупки и доллара, и евро на 3 процентных пункта меньше цены продажи. Такой же эта разница сохранится и в будущем. Ожидается с большой  вероятностью, что ежемесячно в течение  длительного времени курс евро по отношению к доллару будет возрастать на 0,5%. Цены покупки и продажи обеих валют будут изменяться такими же темпами, как и биржевые курсы. Гражданин имеет доллары и нуждается в перспективе в долларах. Определите, целесообразно ли обменять их на евро, и на какой срок запланировать обратный обмен.

 

Решение

Если имеется  х долларов, то при обмене их на евро будет получено евро:

х*(1-0,03)=0,97х

Ежемесячно  в течение длительного времени  курс евро по отношению к доллару будет возрастать на 0,5%.

Тогда через определенный период времени размер валютных накоплений в евро составит:

0,97х*(1+0,005)ⁿ

где n - число месяцев.

Найдем число месяцев, через  которое размер валютных накоплений превысит размер х долларов (методом  подстановки n в формулу):

n=7

Таким образом, целесообразно  обменять доллары на евро, если срок, через который будут нужны  доллары 7 и более месяцев.

Ответ: Такую операцию целесообразно осуществить, если  доллары будут нужны через 7 и более месяцев.

 

Задача №9.

Кредит на сумму 2 млн. руб. получен на условиях погашения его единовременным платежом вместе с процентами через 4 месяца. Какую сумму должен будет возвратить заемщик кредитору, если: