Задачи по "Линейной Алгебре"

Минкевич Виталий Иосифович

Студент группы Д-8В2С1

Индивидуальное домашнее задание № 1

Вариант № 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индивидуальное домашнее задание № 1.

 

Вариант № 9

Задача 1. Вычислите произведения матриц А∙В и В∙А, если

А=, В=.

Решение.

А∙В=∙==

= 
В∙А=∙=.

Задача 2. Вычислить определитель.

 

Решение.

∆=-4S₁+S₄₌¹⁺²==-(0-120+0-0+20-0)=100

Задача 3. Решить матричное  уравнение

∙X-7∙=.

Решение.

∙X-7∙=

∙X=+=>

 

∙X=

Это уравнение вида А∙X=В =>

X=A^-1∙B

det A==6-5=1

A^*==>A^*T==>

A^-1=A^*T=> A^-1=

X=∙=.

Задача 4. Решить систему уравнений тремя способами:

а) методом Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.

Сделать проверку.

 

Решение.

а)

 

Правило Крамера: Если определитель det A матрицы системы n линейных уравнений с n неизвестны отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам X_i=det A_i / det A, i=1,…,n, где

det A_i – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Вычислим определитель матрицы систем. Воспользуемся формулой определителя матрицы третьего порядка: det A=a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂-a₁₃∙a₂₂∙a₃₁-a₁₁∙a₂₃∙a₃₂-a₁₂∙a₂₁∙a₃₃

det A==1∙1∙1+2∙(-2) ∙2+2∙2∙(-2)-2∙1∙2-1∙(-2) ∙(-2)-2∙2∙1=-27

Определитель матрицы  системы не равен нулю, система  имеет единстаенное решение. Вычислим определители det A_i

Воспользуемся формулой определителя матрицы третьего порядка:

det A=a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂-a₁₃∙a₂₂∙a₃₁-a₁₁∙a₂₃∙a₃₂-a₁₂∙a₂₁∙a₃₃

det A₁==1∙1∙1+2∙(-2) ∙2+2∙2∙(-2)-2∙1∙2-1∙(-2) ∙(-2)-2∙2∙1=-27

Воспользуемся формулой определителя матрицы третьего порядка:

det A=a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂-a₁₃∙a₂₂∙a₃₁-a₁₁∙a₂₃∙a₃₂-a₁₂∙a₂₁∙a₃₃

det A₂==1∙2∙1+1∙(-2) ∙2+2∙2∙2-2∙2∙2-1∙(-2) ∙2-1∙2∙1=0

Воспользуемся формулой определителя матрицы третьего порядка:

det A=a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂-a₁₃∙a₂₂∙a₃₁-a₁₁∙a₂₃∙a₃₂-a₁₂∙a₂₁∙a₃₃

det A₃==1∙1∙2+2∙2∙2+1∙2∙(-2)-1∙1∙2-1∙2∙(-2)-2∙2∙2=0

Таким образом получаем:

X₁=det A₁/det A=-27/-27=1/1

X₂=det A₂/det A=0/-27=0/1

X₃=det A₃/det A=0/-27=0/1

Сделаем проверку, подставив  полученные значения в исходное уравнение

 

Ответ: X₁=1;   X₂=0;  X₃=0.

 

 

 

 

б)

 

Запишем заданную систему  в матричном виде: А∙Х=В, где 

А=                         В=                        Х=

Умножим систему слева  на обратную матрицу А^-1: А^-1∙А∙Х=А^-1∙В

Заметим, что А^-1∙А=Е, где Е-единичная матрица, а также что Е∙Х=Х, тогда Х=А^-1∙В

Найдем обратную матрицу  системы.

Обратная матрица существует, если определитель данной матрицы отличен  от нуля.

Вычислим определитель

Воспользуемся формулой определителя матрицы третьего порядка:

det A=a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂-a₁₃∙a₂₂∙a₃₁-a₁₁∙a₂₃∙a₃₂-a₁₂∙a₂₁∙a₃₃

det A₁==1∙1∙1+2∙(-2) ∙2+2∙2∙(-2)-2∙1∙2-1∙(-2) ∙(-2)-2∙2∙1=-27

Так как определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно обратная матрица существует. Для вычисления обратной матрицы, составим матрицу (А_ij) из алгебраических дополнений (А_ij)=(-1)^i+j М_ij элементов матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения А_ij

А₁₁=(-1)¹⁺¹∙=(-1)¹⁺¹∙(1∙1-(-2)∙(-2))=-3

A₁₂=(-1)¹⁺²∙=(-1)¹⁺²∙(2∙1-(-2) ∙2)=-6

A₁₃=(-1)¹⁺³∙=(-1)¹⁺³∙(2∙(-2)-1 ∙2)=-6

А₂₁=(-1)²⁺¹∙=(-1)²⁺¹∙(2∙1-2∙(-2))=-6

А₂₂=(-1)²⁺²∙=(-1)²⁺²∙(1∙1-2∙2)=-3

А₂₃=(-1)²⁺³∙=(-1)²⁺³∙(1∙(-2)-2∙2)=6

A₃₁=(-1)³⁺¹∙=(-1)³⁺¹∙(2∙(-2)-2 ∙1)=-6

A₃₂=(-1)³⁺²∙=(-1)³⁺²∙(1∙(-2)-2 ∙2)=6

A₃₃=(-1)³⁺³∙=(-1)³⁺³∙(1∙1-2∙2)=-3

Получим матрицу алгебраических дополнений (А_ij)

 

 

Поменяв местами строки со столбцами, матрицу (А_ij) получим присоединенную матрицу А=(А_ij)^Т

 

Теперь разделив все элементы присоединенной матрицы А⁺ на определитель det A.

А^-1=(1/det A)∙А⁺=

Таким образом  Х==

=

Сделаем проверку, подставив  полученные значения в исходное уравнение 

 

Ответ:  Х₁=1;  Х₂=0;  Х₃=0.

в)

 

Данная система является неоднородной. Система совместна и определена, если ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен числу неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы.

 

Приведем расширенную матрицу  системы к треугольному виду.

 

Сократим 2-ю строку на 3. Сократим 3-ю  строку на 3.

 

В полученной треугольной  матрице выделим базисный минор.

 

Ранг матрицы системы  равен 3. Ранг расширенной матрицы  равен 3.Так как ранг матрицы системы  равен рангу расширенной матрицы  и равен числу неизвестных, следовательно система имеет единственное решение. По найденной треугольной матрице запишем систему, эквивалентную данной:

 

Теперь начиная с последнего уравнения последовательно находим решение:

             

Проверим полученное решение, подставив его в исходную систему:

 

Ответ: Х₁=1;  Х₂=0;  Х₃=0.

Задача 5. Найти общее решение  системы линейных уравнений методом  Гаусса.

 

Решение.

Данная система является неоднородной. Система совместна  и определена, если ранг расширенной  матрицы системы равен рангу  матрицы системы и равен числу  неизвестных. Запишем расширенную  матрицу системы.

 

 

Приведем расширенную  матрицу системы к треугольному виду

Сократим 3-ю строку на 3.

В полученной треугольной  матрице выделим базисный минор.

 

Ранг матрицы системы  равен 4. Ранг расширенной матрицы  равен 4. Так как ранг матрицы системы  равен рангу расширенной матрицы  и равен числу неизвестных, следовательно  система имеет единственное решение. По найденной треугольной матрице  запишем систему, эквивалентную  данной:

 

Теперь, начиная с последнего уравнения, последовательно находим  решение:

                   

Проверим полученное решение, подставив его в исходную систему:

 

Ответ: X₁=0;  X₂=0;  X₃=0;  X₄=1.

 

Задача 6. Найти общее решение  системы линейных однородных уравнений  и записать ее фундаментальную систему  решений.

 

 

Решение.

 

Данная система является однородной. Система линейных однородных уравнений всегда совместна (имеет  нулевое решение). Чтобы система  имела нетривиальные решения, необходимо чтобы ранг матрицы системы был  меньше числа неизвестных. Запишем матрицу системы.

 

Приведем матрицу системы  к треугольному виду

Сократим 2-ю строку на 9. Сократим 3-ю строку на 5. Сократим 4-ю строку на 3.

В полученной треугольной  матрице выделим базисный минор

 

Ранг матрицы системы  равен 2. Число неизвестных равно 4. Так как ранг матрицы системы  меньше числа неизвестных, следовательно система имеет множество решений. По найденной треугольной матрице запишем систему, эквивалентную данной:

 

За базисные переменные примем: Х₁; Х₂;

За свободные переменные примем: Х₃=С₁; Х₄=С₂

Теперь начиная с последнего уравнения последовательно выражаем базисные переменные через свободные.

                

Получили общее решение:

Х=

Фундаментальная система  решений состоит из n-r=4-2=2 линейно независимых решений. Придадим константам такие значения, чтобы полученные решения были линейно независимы. Для этого мы должны сформировать минор порядка n-r отличный от нуля:

Х1	Х2	Х3	Х4
1	-1	1	0
1	-2	0	1

Остальные решения можно  найти как линейную комбинацию решений  ФСР, т.е. общее решение:

Х=а_{1 а2}

Чтобы получить частное решение, придадим константам числовое значение.

Положим а₁=а₂=1

Тогда: Х₁=2; Х₂=-3; Х₃=1; Х₄=1

Проверим полученное решение, подставив его в исходную систему:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы.

1. Терехина Л.И., Фикс И.И., Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие, дистантное обучение. Издательство ТПУ. Томск, 168с.
2. Имас О.Н. Учебное издание. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Методические указания и индивидуальные задания.