Задачи по математике в экономике

 

    Для принятия решения можно использовать следующие способы.

    а) Позиция крайнего пессимизма:

    Он  заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии А_i, эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α _i будет минимально возможной, т.е.

    α _i=min (α _i1, α _i2. . . α _{i n})

    Вычислив  все величины α _i (α ₁, α ₂,....... α _m), нужно взять наибольшую из них α:

    α =max (α _i)

    Та  стратегия, которая соответствует  числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая стратегия есть наилучший выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

    б) Позиция крайнего оптимизма:

    Предположим, что при выборе любой стратегии  А _i, эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β _i  наибольшая, т.е.

    β _i = max(α ₁, α ₂,....... α _m)

    Вычислив  все β _i нужно взять наибольшую из них β

    β =max (β _i)

    Та  стратегия, которая соответствует  величине β и есть искомая.

    Данная  стратегия отражает надежду на самый  лучший исход из всех возможных.

    в) Позиция пессимизма - оптимизма:

    Рассмотрим  величину Н:

    

    где λ - числовой параметр, 0£λ£1.

    Предлагается  выбирать стратегию, соответствующую  величине Н.

    При λ=0 , H=max α _i = α , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма.

    При λ =1, Н= max β _i = β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

    Вообще, величина Н при изменении λ  от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии.

    γ =max (γ _i)

    Стратегию, на которой достигается величина γ, называют соответствующей подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

    Подставим d=577 в формулы. Получим следующую таблицу:

 

    Найдем  по каждой строке таблицы минимальное  из чисел a_i, максимальное b_i и вычислим их полусумму

 

    a=max(a₁, a₂, a₃)=max(43, 33, 27)=43, Þ А₁ – стратегия крайнего пессимизма. Ожидаемый выигрыш равен 43 единицы.

    b=max(b₁, b₂, b₃)=max(97, 53, 63)=97, Þ А₁ – стратегия крайнего оптимизма. Ожидаемый выигрыш равен 97 единиц.

    g=max(g₁, g₂, g₃)=max(70, 43, 45)=70, Þ А₁ – стратегия оптимизма-пессимизма. Ожидаемый выигрыш равен 70 единиц. 

    Задача  №5.

1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?
2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

 

    Решение:

    1. К системам массового обслуживания  относятся магазины, рестораны, автозаправочные  станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты.

    Общую схему СМО можно представить  в следующем виде: 

 Поток обслуженных

                 

                 требований требований

 

    Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина Х с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:

    F(t) = , t ,

где параметр (треб./ед. времени) характеризует интенсивность входящего потока.

    Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в  порядке поступления.

    Для обслуживания примем предположения, что  все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:

    F(t) = , t , 

где параметр (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания. 

    Работу  СМО характеризуют следующие  экономические показатели:

    P_k – доля времени работы k каналов, k=0,1,…,n;

    L – средняя длина очереди

    P₀ – вероятность того, что система свободна

    П – вероятность образования очереди

    P_отк – вероятность отказа в обслуживании

    g – относительная пропускная способность

    А – абсолютная пропускная способность

    n_зан – среднее количество занятых каналов

    t_ож - среднее время нахождения в очереди

    2. d=577

      треб./мин

      треб./мин

    

     (p₀=28,5%)

    

    Если  интенсивность станет равной треб./мин, то в силу условия 12,3 < 2×8,77 условие стационарности СМО выполняется. Рассчитаем среднюю длину очереди:

    

    

    

    При интенсивности m=8,77 и интенсивности входа l=9,77 требований в минуту доля времени простоя касс будет 28,5% времени, а средняя длина очереди 0,501 (треб.). Если же интенсивность входа станет равной 12,3 треб./мин, то средняя длина очереди увеличится в 2,713 раза. 
 

    Задача  №6.

1. Сформулировать задачу оптимального управления запасами.
2. Дать экономическую интерпретацию предельной арендной платы.
3. Сделать вывод о целесообразности аренды дополнительных складских ёмкостей или о необходимости сокращения объёма заказываемой партии товара с учётом имеющихся складских ёмкостей при сравнении фактической  α ( ) и предельной λ ( ) арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

                                

    Решение:

    1. Задача оптимального управления  запасами формулируется следующим  образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него.

    2. Показатель l, определяемый по формуле , экономически интерпретируется как предельная арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата меньше или равна предельной, то аренда выгодна, в противном случае аренда не выгодна.

    3. d=577

    

    

    a<l, Þ фактическая предельная плата меньше арендной предельной платы, поэтому аренда дополнительных складских емкостей выгодна. 

Задача  №7.

1. Дать понятие генеральной и выборочной совокупностей.
2. Определить соотношения между доверительными интервалами при:

       а) фиксированных значениях среднеквадратического отклонения , надёжности Р и различных значениях объёма выборки

       n₁ =610 - ;                              n₂ = - 490;

       б) фиксированных значениях среднеквадратического отклонения , объёма выборки n и различных значениях надёжности

                                     

       в) фиксированных значениях надёжности Р, объёма выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения

                                      

    Решение:

    1. Генеральной совокупностью называют  множество однородных объектов, изучаемых относительно некоторого количественного признака или группы признаков.

<