Задачи по математике

Задание1. (тема1) Пределы функции.

 

а) 
Решение:

 , т.к максимальная степень х в числители 2 (х² 

b)

Решение:

 

 

Неопределенность вида 0/0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

Решение:

Неопределенность вида (1^∞). Используем второй замечательный предел

 

 

 

 

 

Задание 2. (тема 3) Исследование функций.

 

y = x² + x

1. Найдем область определения функции (-∞; +∞)
2. Исследуем на четность функцию y (-x) = (-x)² + (-x) = x² – x. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.  y (-x) ≠ y (x), y (-x) ≠ -y (x)
3. Находим вертикальные асимптоты к графику функции. Точек разрыва нет, поэтому вертикальной асимптоты нет.
4. Исследуем поведение функции на бесконечности
5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции

y’ = (x² +x)’= 2x +1

y’ = 0  если 2x +1 =0, 2х = -1, х = – критическая точка

 Производная меняет знак с  “-” на “+”, значит при х =-   будет минимум функции.

y _min = y ( =

y _min

 

6. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции, для этого вычислим вторую производную

y” = (2х +1)’ = (2x)’ + (1)’ = 2

При любых х   у” > 0, следовательно функция выпукла вниз.

7. Находим точки пересечения с осями координат.

Полагаем х = 0, тогда у = 0

Y = 0, тогда х2 + х = 0 х = 0 или х = -1

8. Строим график

Дополнительные точки  (-2;2) (1;2)

Задание 3. (тема 4) Неопределенный интеграл.

Вычислить неопределенный интегралы, используя методы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование ;

б) замены переменной dx;

в) интегрирование по частям .

Решение а:

 

 

 

 

Решение б:

Пусть

Продифференцируем

  ,

 

3 x^-1-1 dx=dt

 

 

 

 

Решение в:

 

Воспользуемся формулой

Пусть

du=d(4-x)

du=-dx

v=

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4. (тема5) Определенный интеграл

 

4.1 вычислить  определенный интеграл 

Воспользуемся формулой

 

 

Пусть  ln x = u, тогда dv=x²dx

d(ln x)=du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

Ответ: S

Задание 5. (тема 6) Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость

а)

 

Интервал сходится

 

б)

 

Интеграл от разрывной функции х= -2

 

 

Несобственный интеграл II рода  площадь высокой криволинейной трапеции

 

 

 

Интеграл сходится

Заданием 6. (тема 7) Ряды

 

6.1 Числовые  ряды. Исследовать ряд на сходимость

 

Решение

Воспользуемся признаком Даламбера

U_n =(n+1)*0,8ⁿ

U_n+1 = (n+1+1)*0,8ⁿ⁺¹=(n+2)*0,8ⁿ⁺¹

 

 

 

 

Ряд сходится по признаку Даламбера.

6.2 Степенные ряды. Определить область  сходимости степенного ряда

 

 

Решение

 

 

 

Данный ряд сходится к области

 

 

 

 

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости при х=-9; получаем ряд

 

Знакочередующийся ряд сходится по принципу Лейбница.

При х=-1

 

 

Ответ:

 

Задание 7. (тема8) Функции нескольких переменных.

Исследовать функцию двух переменных на экстремум:

 

 

 

 

1. Найдем частные производные

 

 

 

2.  Решим систему и найдем критические точки

 

 

х=0, у – любое у2

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

Задание 8 (тема9) Решение дифференциальных уравнений.

1. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

Проинтегрируем уравнение с  разделенными переменными.

 

 

 

 

 

Произвольную постоянную запишем тоже в виде логарифма, для удобства.

Знак «-»: -ln

 

 

 

 

 

 

Найдем постоянную интегрирования С, используя начальные уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

 

 

 

Решение: однородное уравнение

Решение уравнения ищем в виде:

 

 

 

 

 

 

Т.к искомая функция имеет вид , то получим 2 частных решения

 

Эти частные решения можно заменить следующими

 

Уравнение будет иметь вид

 

 

 

Находим частные  решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем в *

 

 

 

 

Ответ: