Задачи по "Математике"

Задание.

Решить заданное дифференциальное уравнение y’=f(x,y), удовлетворяющее начальным условиям :

1) Методом Бернулли

2) Методом Эйлера

3) Методом Рунге-Кутта  4-го порядка

4) Методом последовательных  приближений

5) Методом степенных  рядов

Выполнить все расчёты в программе Exel.

Выполнить все  расчёты в компьютерно-математической системе Maple.

 

Численные методы решения.

1. Решение уравнения методом Бернулли.

Уравнением  Бернулли называется уравнение вида: , r R.

Уравнение вида: - это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, согласно методу будем искать решение в виде произведения двух функций .

 

2. Метод Эйлера.

 Этот метод  основан на геометрическом значении  первой производной, таким образом зная начальные условия мы можем приближенно описать функцию, и чем меньше шаг мы берем, тем точнее график.

 

3. Метод Рунге-Кутта.

Рассмотренный выше метод Эйлера является частным  случаем численных методов интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка, которые носят общее название «Методы Рунге-Кутта». Существует множество методов Рунге-Кутта различного порядка, рассмотрим еще один, имеющий порядок погрешности . По этому методу для уравнения вычислению значения предшествует четыре интеграции по формулам:

,

,

,

,

,

.

 

Приближенные  методы решения.

1. Метод последовательных приближений (метод Пикара).

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

                     (1)

При начальном  условии  .

      Решение y(x) уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию, может быть представлено в виде

,            (2)

Где последовательные приближения  определяются по формулам

,

В условиях теоремы  существования и едиственности  решения дифференциального уравнения  функции  равномерно сходятся в заданном промежутке к искомому решению .

 

2. Метод степенных  рядов.

Одним из методов  приближенного решения дифференциальных уравнений является метод разложения в ряд Тейлора.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

при начальном  условии  .

Если функция f(x,y) дифференцируемая достаточное число раз, то коэффициенты

Ряда Тейлора

можно получить последовательным дифференцированием данного дифференциального уравненияможно получить последовательным дифференцированием данного дифференциального уравнения:

y’(x)=f(x,y),

,

……………………..

И последующей  подстановкой

Для тех значений х, для которых ряд сходится, он представляет решение уравнения.

 

Выводы:

-чем больше последовательных приближений, тем больше точность приближенного решения.

-метод Рунге-Кутта оказался точнее, чем метод Эйлера.

-при уменьшении  шага точность вычислений растет.