Задачи по "Теории вероятностей"

№ 459.

Студент знает 50 вопросов из 65 вопросов программы. Экзаменатор  задает три произвольных вопроса  из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы: а) на все три вопроса; б) только на два вопроса; в) только на один вопрос; г) не знает ответа ни на один из заданных вопросов.

Решение.

Вероятности найдем по формуле  классической вероятности: , где n – число всех исходов, m – число благоприятных исходов.

Определим число всех исходов  для каждого случая как сочетания  из 65 вопросов по 3 вопроса: .

а) Событие А- знает ответы на все три вопроса.

Благоприятных исходов  .

Тогда вероятность  .

б) Событие В- знает ответы только на два вопроса.

Благоприятных исходов 

.

Тогда вероятность  .

в) Событие С- знает ответы только на один вопрос.

Благоприятных исходов 

.

Тогда вероятность  .

г) Событие D- не знает ответа ни на один вопрос.

Благоприятных исходов  .

Тогда вероятность  .

Ответ: а) 0,449; б) 0,421; в) 0,120; г) 0,063.

 

№ 469.

Три  стрелка в одинаковых и  независимых условиях произвели  по одному выстрелу по одной и той  же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна р₁=0,5, вторым – р₂=0,6, третьим – р₃=0,9. Найти вероятность того, что: а) только два стрелка попали в цель; б) все три стрелка попали в цель.

Решение.

Вероятности промаха i-м стрелком при одном выстреле:: q_i=1-p_i,

т.е. q₁=0,5; q₂= 0,4, q₃= 0,1.

а) Событие А - только два стрелка попали в цель.

.

 б) Событие В - все три стрелка попали в цель

Ответ: а) 0,48; б) 0,27.

 

№ 479.

Куплено 14 лотерейных билетов. Вероятность  выигрыша на один лотерейный билет  р=0,3. Найти а) вероятность того, что из 14 билетов 3 билета выиграют; б) наивероятнейшее число выигрышных билетов.

Решение.

а) Найдем искомую вероятность по формуле Бернулли:

, где q=1-р=0,7.

б) Наивероятнейшее число найдем по формуле:

Т.е. наивероятнейшее число k=4.

Ответ: а) 0,194; б) 4.

 

№ 489.

Дискретная случайная величина может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<х₂. Известны вероятность р₁=0,4 возможного значения х₁, математическое ожидание М(Х)=3,6 и дисперсия D(Х)=0,24. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение.

Найдем вероятность р₂ из условия р₁+ р₂=1, т.е. р₂=1-0,4=0,6.

По определению математическое ожидание: .

Т.е.  3,6= 0,4х₁ + 0,6х₂ или  2х₁ +3 х₂=18.

По определению дисперсия: .

Т.е.  0,24= 0,4х₁² + 0,6х₂²-3,6² или  2х₁² + 3х₂²=66.

Решим систему:

 

5х₂² - 36х₂+64=0

D=36²-4·5·64=16

 или 

Из условия х₁<х₂, тогда закон распределения:

Х	3	4
Р	0,0,4	0,6

 

 

№ 499.

Непрерывная случайная величина Х  задана своей плотностью распределения  вероятностей f(х). Требуется: 1) определить коэффициент А; 2) найти функцию распределения F(x); 3) схематично построить графики f(x) и F(x); 4) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; 5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (1, 3).

Решение.

1. Определим А из условия: .

Т.е. , тогда А=1/2.

2. Найдем

При х<-1

f(x)=0, тогда ;

При -1≤х≤1

f(x)= , тогда

При х>1

f(x)=0, тогда

Тогда

 

3. Построим графики

4) Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

5) Используем формулу: Р(α < Х < β) = F(β)-F(α).

Р(0,5 < Х < 2,5) = F(2,5)-F(0,5)= 1- ≈0,44.

 

№ 509.

Найти доверительный интервал для  оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, если известна выборочная средняя , объем выборки n=144 и среднее квадратическое отклонение σ=2.

Решение.

Находим по таблице t₎=1,96, т.к. Ф(t)=γ/2=0,95/2=0,475.

Доверительный интервал:

Ответ: С вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности а попадет в интервал от  35,81 до 36,47.

 

№519.

Данные наблюдений над двумерной  случайной величиной (Х, Y) представлены в корреляционной таблице.

Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х: .

Y	X						ny
	7	10	13	16	19	22
2	7	11					18
4		5	19	3			27
6			15	15	2		32
8			5	6	4		15
10				1	4	3	8
nx	7	16	39	25	10	3	n=100

Решение.

Расчет произведем в таблице:

Y	X						ny	уny	у2nу	хуnху
	7	10	13	16	19	22
2	7	11					18	36	72	318
4		5	19	3			27	108	432	1380
6			15	15	2		32	216	1296	2838
8			5	6	4		15	120	960	1896
10				1	4	3	8	80	800	1580
nx	7	16	39	25	10	3	n=100	∑ уnху=560	∑ у2ny =3560	∑ хуnху=8012
хnх	49	160	507	400	190	66	∑ хnх=1372
х2nх	343	1600	6591	6400	3610	1452	∑ х2nх=19996			↑
хуnху	98	420	2678	2560	1596	660	∑ хуnху=8012		←	контроль

Найдем средние значения:

; 

Найдем средние квадратические отклонения:

, где  ;

, где  ;

Найдем выборочный коэффициент  корреляции:

.

Тогда уравнение  :

Ответ: .

 

 

№ 529.

Требуется при уровне значимости α=0,05 проверить по критерию согласия Пирсона  гипотезу о нормальном распределении  генеральной совокупности. Если известны эмпирические частоты n_i и теоретические частоты n_i’.

Решение.

Найдем наблюдаемое значение критерия .

Составим расчетную таблицу:

5	6	-1	1	0,26
11	13	-2	4	0,31
20	16	4	16	1
27	25	2	4	0,16
19	20	-1	1	0,05
12	13	-1	1	0,08
6	7	-1	1	0,14
			итого	1,9

По таблице критических точек  распределения  по уровню значимости α=0,05 и числу степей свободы k=s-3=7-3=4 находим критическую точку . Сравним наблюдаемое и критическое значения: , следовательно, гипотезу о нормальном распределении принимаем.

 

Литература.

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – 6-е изд., стериотипное. – М.: Высш. Шк., 1997
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – 4-е изд., стериотипное. – М.: Высш. Шк., 1997