Задачи по высшей математике

Раздел  № 1.

      1. Даны матрицы А, В, С. Вычислить матрицу D = АВ + С. 

,       ,       . 

Решение:

 

 

Ответ:  . 

1. Вычислить определитель третьего порядка.

 

Ответ:   -24 

2. Решить  систему линейных уравнений

    

Решение:

     Решаем  систему методом  Крамара:

     Составляем  определитель из коэффициентов  при неизвестных:

     Определитель  получаем из исходного определителя заменой первого столбца на столбец свободных членов, а остальные столбцы оставляем прежними.

     Заменяем  в исходном определителе второй, а затем третий столбец, на столбец свободных членов, получим аналогичным образом

Проверка:         верна

Ответ:  

     4. Задача межотраслевого  баланса. Модель  Леонтьева.

      В таблице приведены  данные об исполнении баланса за отчетный период в условных единицах. Вычислить  матрицу прямых А  затрат и проверить  ее на по критерию продуктивности: матрица А продуктивна  если ,   и существует номер j такой, что <1.

      Вычислить необходимый объем  валового выпуска  каждой отрасли, если конечное потребление  первой отрасли увеличивается  вдвое, а второй на 20%. 

 

      Имеем:

      По  формуле

      Находим коэффициент прямых затрат:

      То  есть таблица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности.

 

      Поэтому для любого вектора  конечного продукта можно найти необходимый объем валового выпуска по формуле

Найдем  матрицу полных затрат.

Так как 

По  формуле 

По  условию вектор конечного  продукта ,

тогда по формуле     получаем вектор валового выпуска.

т.е. валовой выпуск в  первой отрасли надо увеличить до 97,63 у.е., а во второй отрасли  до 102,23 у.е.  

5.Составить  уравнение линии  на плоскости.

      Составить параметрическое  уравнение прямой, проходящей через  точку 

М(-1,2) параллельно оси  .

 у

                                               N (0;2)

                                                                                    
 
 
 
 
 
 

      Составим  уравнение прямой по формуле: 

- каноническое уравнение прямой

- параметр

- параметрические  уравнения прямой

Ответ:

6. Найти расстояние  от прямой до  точки.

      Расстояние  от прямой   до точки по формуле

Ответ: 6.

7. Решить задачу  линейного программирования.

Решение: 

      Заменив знаки неравенства  на знаки точных равенств построим область  решений по уравнениям прямых

   (1)          (2)        (3)

                                                

      Областью  решений неравенств является Δ ABC. Построим вектор . Тогда опорная прямая при выходе из треугольника решений пройдет через точку , а поэтому в точке функция имеет максимум.

Ответ:

8. Решить задачу оптимизации.

      Для производства двух видов  изделий А и  В предприятие  использует три вида сырья. Нормы расхода  сырья каждого  вида на изготовление единицы продукции  данного вида, прибыль  от реализации одного изделия каждого  вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице. Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношения (сбыт обеспечен), требуется составить план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной. 

 

      Составим  экономико-математическую модель задачи. Для этого обозначим - количество изделий вида А, - количество изделий вида В. Эта задача является задачей оптимального использования сырья, поэтому система ограничений имеет вид:

      Целевая функция представляет собой общую стоимость  произведенной продукции, и эта функция  в постановленных ограничениях оптимизируется на максимум.

      

      Поскольку в задаче только 2 переменные и , решим задачу геометрически, заменив знаки неравенств в системе ограничений на знаки точных равенств, построим область решений по уравнениям прямых.

      

      Областью  решений неравенств является четырехугольник  OPRS.

      Строим  вектор

      Тогда опорная прямая при  выходе из четырехугольника решений пройдет  через точку R или S. Найдем координаты точки R.

                                

                                  

                                    

      

      Найдем  координаты точки  S:

                    

      Находим

                     

      Следовательно, при

      Ответ:  

      Раздел  № 2. 

1. Построить график функции (при  помощи преобразования графиков основных элементарных функций).

      

                        
 

2. Значение  функции f(x) известно в точках a и b. С помощью линейной интерполяции найти значение в точке с.

 
 

      Решение:

      Применяя  формулу , находим где

      Ответ: 6,5

3. Найти предел функции.

      

      Решение:

      

      Ответ:

4. Найти предел функции

      

      Решение:

      Применили второй замечательный  предел   

      Ответ:  

5. Вычислить производную функции

      

      

      Ответ:  
 
 
 
 
 
 

6. Вычислить производную сложной функции

      

      

      Ответ:

7. Найти пределы, используя правило Лопиталя

      

      

      Ответ: 0

8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2,2]

      

      Решение:

        Находим  производную.

      Находим критические точки:

      

      Находим значения функции  в найденной критической  точке  и на концах отрезка:

      

      Ответ: наибольшее значение функции равно  , а наименьшее равно .

9. Исследовать функцию и построить ее график