Использование процентного числа и дивизора

Содержание

 

 

 

1. Вопрос №7 Использование процентного числа и дивизора

В банковской практике размещенный  на длительное время капитал может  в течение этого периода времени  изменяться, т.е. увеличиваться или  уменьшаться путем дополнительных взносов или отчислений. Таким образом, при обслуживании счетов банки сталкиваются с непрерывной сетью поступлений и расходованием средств и начислением процентов на постоянно меняющуюся сумму. В этой ситуации в банковской практике используется правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Это касается и дебетовой, и кредитовой части счета. Разница  лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.

В таких случаях для  расчета процентов используется методика расчета с вычислением процентных чисел: каждый раз, когда сумма на счете изменяется, производится расчет "процентного числа" за период, в течение которого сумма на счете была неизменной. Процентное число вычисляется по формуле:

Процентное число = (Сумма  на счете * Длительность периода в днях) / 100 = (PV * t) / 100

Для определения суммы  процентов за весь срок их начисления все "процентные числа" складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, который носит название "процентный ключ" или дивизор, определяемый отношением количества дней в году к годовой процентной ставке:

I = ΣПроцентных чисел  : Постоянный делитель,

где

Постоянный делитель = Продолжительность года в днях / Годовая ставка процентов = T / i.

Проценты, вычисляемые с использованием дивизора, рассчитанного исходя из 365 дней в году, будут меньше, чем проценты по дивизору, где количество дней в году принято за 360, поэтому при обслуживании конкретного клиента всегда используется один из дивизоров.

Методика с использованием процентных чисел по своей сути является последовательным применением формулы простых процентов для каждого интервала постоянства суммы на счете:

I = I₁ + I₂ + I₃ = P₁ * t₁ / T * i + P₂ * t₂ / T * i + P₃ * t₃ / T * i

Пример. При открытии сберегательного счета по ставке 28% годовых, 20 мая 1999 года была положена сумма в размере 1000 рублей, а 5 июля на счет добавлена сумма в 500 руб., 10 сентября снята со счета сумма в 750 руб., а 20 ноября счет был закрыт. Используя процентные числа определить сумму начисленных процентов при условии, что банк использует "германскую практику".

Решение:

Срок хранения суммы  в 1000 руб. составил 46 дней, тогда

Процентное число 1 = (1000 * 46) / 100 = 460;

срок хранения суммы  в размере 1'500 руб. составил 66 дней, откуда

Процентное число 2 = (1500 * 66) / 100 = 990;

срок хранения уменьшенной  до 750 руб. суммы составил 70 дней:

Процентное число 3 = (750 * 70) / 100 = 525

Дивизор = 360 / 28 = 12,857

Следовательно, сумма  начисленных процентов за период действия сберегательного счета составит:

I = (460 + 990 + 525) / 12,857 = 153,61 руб.

Можно проверить правильность произведенных нами расчетов, исходя из сути процентов:

I = 1000 * 46 / 360 * 0,28 + 1500 * 66 / 360 * 0,28 + 750 * 70 / 360 * 0,28 = 153,61 руб.

Как видим, результат вычислений тот же самый.

2. Вопрос № 37 Определение будущей стоимости постоянного аннуитета постнумерандо

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют  различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет будущей  стоимости срочного аннуитета постнумерандо.

Сущность расчета заключается  в том, что денежный поток, состоящий  из одинаковых по величине выплат и  существующий определенное время можно  пересчитать в будущую стоимость, суммировав все наращенные выплаты  с учетом условия постнумерандо.

Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления  равны между собой. В этом случае C1 = С2 = …= Сn = А.

При расчете будущей  стоимости аннуитета, осуществляемого  на условиях последующих платежей постнумерандо, применяется следующая формула:

SA_post = R * {[(1 + i)ⁿ -1] / i}

где SA_post — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей постнумерандо;

R — член аннуитета, характеризующий  размер отдельного платежа;

i — используемая процентная  ставка, выраженная десятичной дробью;

n — количество интервалов, по  которым осуществляется каждый  платеж, в общем обусловленном  периоде времени.

Пример. Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей постнумерандо при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет; интервал платежей по аннуитету составляет один год (платежи вносятся в конце года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 УЕ; используемая для наращения стоимости процентная ставка составляет 10% в год (0,1).

 Подставляя эти данные в  приведенную формулу, получим:

SA_post = 1000 * {[(1 + 0,1)⁵- 1]/ 0,1} = 6105 УЕ

В процессе расчета аннуитета  возможно использование упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный  множитель (коэффициент) его наращения  или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:

SA_post = R *I_A

где I_A — множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Использование стандартных  коэффициентов наращения и дисконтирования  стоимости существенно ускоряет и облегчает процесс оценки стоимости  денег во времени.

 

 

 

 

 

3. Вопрос №59 Эффективная годовая процентная ставка

Эффективной называется годичная ставка сложных процентов, дающая то же соотношение между выданной суммойS(0) и суммой S(T), которая получена при любой схеме выплат. Общая формула эффективной ставки ref следует из определения

  (3.1)

откуда

где T выражено в годах.

Пример 1. Пусть в долг на 1,5 года дана сумма 2 млн руб. с условием возврата 3 млн руб. Тогда эффективная ставка в этой сделке равна

r_ef = 1,51/1,5 — l = 0,31 = 31%.

Пример 2. Выдан кредит в 2 млн руб. на 3 месяца под 100% годовых. С учетом того, что такой краткосрочный кредит подразумевает начисления под простые проценты,

S(T) = S(0) (1 + 3 / 12) = 2,5 млн руб.

и эффективная ставка равна

r_ef = (2,5 / 2,0)4 - 1 = 1,443 = 144,3%.

Пример 3. Выдан вексель на 3 млн руб. с годовой учетной ставкой 10% с дисконтированием 2 раза в год, на 2 года.

В данном случае

S(T) = 3, S(0) = S(T) ⋅ 0,954, T = 2,

так, что

Из приведенных примеров можно сделать следующий вывод: при оценке эффективности сделок, определенных с помощью процентных или учетных ставок, значение суммы начального или конечного платежа несущественно. Эффективная ставка непосредственно определяется заданием интереса или дисконта и схемой начислений. Приведем общие формулы для базовых схем.

1. При начислении под простой процент:

r_ef = (1 + Tr)1/T — 1. (3.2)

2. При начислениипод  сложный процент r с количеством начислений в год m:

r_ef = (1 + r / m)m — 1. (3.3)

3. При учете по банковскому  дисконту:

r_ef = (1 + Td)-1/T – 1 = 1 / (1 — Td) 1/T — 1. (3.4)

4. При учете по математическому  дисконту d с дисконтированием m раз в году:

r_ef = (1 + d / m)-m – 1 = 1 / (1 – d / m) m — 1. (3.5)

Расчет эффективной  ставки r_ef — один из основных инструментов финансового анализа. Знание его позволяет сравнивать между собой сделки, построенные по различным схемам: чем выше эффективная ставка, тем (при прочих равных условиях) выгоднее сделка для кредитора.

Сравним, в частности, эффективные ставки при начислении под простой и сложный проценты и одинаковых номинальных ставках r. Для сложного процента при m =1 имеем r_ef = r, а эффективность начислений под простой процент зависит от времени Т. При Т = 1 год они совпадают, а при Т ≠ 1 эффективности различны.

Пример 4. Вклад в сумме 1000 руб. внесен в сберегательный банк под 40% годовых. Сколько должны выплатить клиенту через 6 месяцев при использовании схемы сложных процентов?

Очевидно, что

S(T) = 1000 * (1 + 0,4)^1/2 = 1183 руб.

Фактически же при  принятой практике клиент-кредитор получит несколько больше:

S(T) = 1000 * (1 + 1/2 * 0,4) = 1200 руб.

Если вклад будет  изъят через 1.5 года, то принятая методика комбинирования сложных и простых процентов даст

S(T) = 1000 (1 + 0,4) (1 +1/2 * 0,4) = 1680 руб.,

в то время как при  расчете только по сложным процентам сумма была бы меньше:

S(T) = 1000 (1 + 0,4)1.5 = 1656 руб.,

а при расчете только по простым процентам — еще меньше:

S(T) = 1000 (1 + 3/2* 0,4) = 1600 руб.

Нетрудно убедиться  в справедливости общего положения: при одинаковой номинальной ставке процента эффективная ставка при начислениях под простые проценты выше, чем при начислениях под сложные, если период начисления меньше года, и ниже, если период больше года. Эффективная ставка при комбинированной схеме начисления всегда превосходит номинальную, если число лет не является целым.

Список использованной литературы

1. Бочаров П.П. Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учет.-М,:Гардарион, 2002.
2. Бурмистрова Л.М. Финансы организаций (предприятий): Учеб. пособие / Л.М. Бурмистрова. – М.: ИНФРА-М, 2007.
3. Кирлица В.П. Финансовая математика: Учебное пособие. Мн.: «ТетраСистемс», 2005.
4. Ковалев В.В. «Финансовый анализ: управление капиталом, выбор инвестиций, анализ отчетности» - М.: ФиС, 2006.
5. Ковалева А.М. Финансы фирмы / А.М. Ковалева, М.Г. Лапуста, Л.Г. Скамай. – М.: ИНФРА-М, 2007.
6. Колчина Н.В. Финансы предприятий / Н.В. Колчина, Г.Б. Поляк, Л.М. Бурмистрова / Под ред. Проф. Н.В. Колчиной. – М.: ЮНИТИ-Дана, 2008.
7. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов / Б.Т. Кузнецов. — М.: Издательство «Экзамен», 2005.

8. Самаров К.Л. Финансовая математика: Учебно-методическое пособие для студентов: учебный центр «Резольвента», 2010.

9. Уланов В.А.  Сборник  задач  по  курсу  финансовых  вычислений  /  Под  ред.  проф. В.В. Ковалева. . М.: Финансы и статистика, 2000.
10. Финансовая математика и модели инвестиций: Курс лекций / П.В.Севастьянов. — Гродно: ГрГУ, 2001.
11. Финансовый менеджмент. Под ред. B.C. Золотарева/ 2-е изд., перераб. и доп. Серия «Учебники и учебные пособия». Ростов н/Д: «Феникс», 2000.
12. Шуляк П.Н. Финансы предприятий / П.Н. Шуляк. – М.: ИД «Дашков и К», 2007