Контрольная работа по "Финансовой математике"

Федеральное агентство  по образованию

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Дисциплина: Финансовая математика

Вариант 1

 

 

 

 

Выполнил студент: Калимуллина Л.И.

Студенческий билет №09ффд12951

Проверил: Белолипцев И.А.

 

 

 

 

 

 

 

Уфа 2012

Содержание

 

Задание 1…………………………………………………………..4 стр.

Задание 2…………………………………………………...……..12 стр.

Задание 3……………………………………………………….…16 стр.

Список использованной литературы………………………...…19 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

 

Приведены поквартальные  данные об объеме продаж сырой нефти  в условных единицах за 4 года (всего 16 кварталов).

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	35	38	45	30	33	42	51	32	36	46	54	35	41	50	60	38

 

Задание:

1)Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.

2)Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• Случайности остаточной компоненты

• Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32.

• Нормальности распределения ряда остатков по критерию RS c критическими значениями от 3 до 4,21

3)Оценить точность построенной модели

4)Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год

5)Построить график, на котором должны быть отражены фактические, расчетные и прогнозные значения.

 

Решение:

Для решения данного задания  используем предоставленный шаблон (лист «Модель Хольта-Уинтерса»)

В первую очередь необходимо определить значения коэффициентов  а(0) и b(0), которые определяются как  параметры  уравнения линейной регрессии .

 

                                                              

 

                           

 

Для определения значений данных коэффициентов воспользуемся  специальными возможностями Excel («Анализ данных»- «Регрессия»)

 

 

Значения коэффициентов  а(0)=36,21 и b(0)=0,45 , соответственно линейная модель имеет вид Y(t)рег=36,21+0,45* t

Находим расчетные значения Y(t)рег и сопоставляем их с фактическими значениями

 

Такое сопоставление позволяет  оценить приближенные значения коэффициентов  сезонности I-IV кварталов предыдущего года F(-3), F(-2),   F(-1) и F(0)

                                                  

В результате расчетов поучили  следующие данные:

F(-3)=0,91

F(-2)=1,05

F(-1)=1,25

F(0)=0,80

Оценив полученные значения можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса по формуле

Путем перебора возможных  значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются α1=0,3 ; α2=0,6; α3=0,3

Тогда для момента времени t=0, k=1 имеем:

При моменте времени t=1 имеем:

 

 

 

 

 

Для t=1, k=1 имеем: 

Аналогично рассчитаем значения всех коэффициентов модели и модулируемые значения экономического показателя

Проведем проверку модели на адекватность.

Оценка случайности остаточной компоненты проводится по критерию поворотных точек.

Найдем абсолютные погрешности (остатки) модели по формуле

Также  найдем значения относительных погрешностей по формуле

 

Если значение E(t) больше или меньше значений E(t-1) и  E(t+1), то точка считается поворотной и  в соответствующей строке ставится «1». Если это условие не выполняется, то ставится «0».

 

Общее число поворотных точек  для нашей задачи  р=10

Рассчитаем значение q по следующей формуле (для нашей задачи N=16)

 

Сравним значения р=10 и q=6, так как p > q делаем вывод что ряд остатков является случайным а модель адекватной.

Проверку независимости  уровней ряда остатков проведем по                   d-критерию Дарбина-Уотсона (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении .

Рассчитаем d-критерий Дарбина-Уотсона по формуле

 

Так как  то делаем вывод, что ряд остатков является независимым, а модель адекватной.

Найдем первый коэффициент  автокорреляции по формуле

 

Так как r(1)=0,10 < , следовательно ряд остатков независим а модель адекватна.

Проверку ряда остатков на нормальность распределения выполним по критерию RS c критическими значениями от 3 до 4,21

 

 

Так как полученное значение  входит в интервал от 3 до 4,21, то ряд остатков распределен по нормальному закону, следовательно модель по этому критерию адекватна.

 

 

 

Оценка точности построенной модели

Для оценки точности необходимо рассчитать значения относительных  погрешностей

Так как средняя относительная  ошибка аппроксимации меньше 5%, то модель считается точной.

 

Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год

Отобразим на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.

Из графика видно, что  расчётные данные хорошо согласуются  с фактическими значениями, что говорит  от удовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %K и %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты  можно выполнить на основании  имеющихся данных.

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856
6	889	840	881
7	930	865	870
8	890	847	852
9	866	800	802
10	815	680	699

Решение:

Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю, расчеты проводятся по формуле:

Где k=2/(n+1); - значение ЕМА текущего дня t; - цена закрытия t-го дня; интервал сглаживания, согласно условия, n=5.

Коэффициент k будет равен k=2/(n+1)=2/(5+1)=2/6=1/3

Вычислим простую среднюю для первых  5 дней, получим следующее:

Рассчитаем момент, момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня   И цены n дней тому назад

 

В итоге получим следующие  значения момента:

Отрицательные значения МОМ  свидетельствуют об относительном  снижении цен.

Рассчитаем скорость изменения  цен по следующей формуле:

где  - значение скорости изменения цен текущего дня t, - цена закрытия t-го дня, - цена закрытия n дней назад.

В итоге получим следующие  значения:

Рассчитаем индекс относительной  силы по следующей формуле:

Где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней, AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

В итоге получим следующие  значения:

 

Индексы стохастических линий %Rt, %Kt, %Dt рассчитаем по формулам:

 %K_t=100*(C_t – L₅)/(H₅ – L₅);

%R_t=100*(H₅ – C_t)/(H₅ – L₅);

;

Где C_t цена закрытия текущего дня t, L₅  и H₅ минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий

В итоге получим следующие  значения:

Задание 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные  в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные  значения параметров и выполнить  расчеты.

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Тн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
500 000	21.01.02	11.03.02	180	4	10	2

 

3.1. Банк дал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды –  Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

3.1.1 точные проценты с точным числом дней ссуды:

К=365 (дней) – количество дней в году;

t= 49 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

 

 

3.1.2 обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

К=360 (дней) – количество дней в году;

t= 49 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

 

 

3.1.3 обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

К=360 (дней) – количество дней в году;

t= 50 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

 

3.2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

 

 

3.3. Через Тдн дней  предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

 

3.4. В кредитном договоре  на сумму S руб. и сроком на  Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определите наращенную сумму.

 

3.5. Ссуда, размером S руб.  предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

 

3.6. Вычислить эффективную  ставку процента, если банк начисляет  проценты m раз в году, исходя из  номинальной ставки i% годовых.

 или 10,25%

 

3.7. Определить какой должна  быть номинальная ставка при  начислении процентов m раз в  году, чтобы обеспечить эффективную  ставку i% годовых.

 или 9,76%

 

3.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

 

3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.