Контрольная работа по "Финансовой математике"

 

Контрольная работа

по курсу «Финансовая  математика» 

 

Задача 1. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 500 000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 16% годовых.

 

Дано: I=P*n*i; 
Р= 500 тыс.руб. где I-проценты, 
 
n=1,5 лет P-ссуда, 
 
i= 16% n-срок на который берется ссуда, 
 
i-годовые проценты 
 
I=? I=500000*1,5*0, 16 
 
I= 120000руб. проценты за 1,5 года. 
 
S= P+I 
 
где S-сумма накопленного долга, 
 
P-ссуда, 
 
I-проценты, 
 
S=500000+120000 
 
S=620000руб. 
 
Ответ: проценты за 1,5 года 120000руб, сумма накопленного долга 620000 рублей.

 

Задача 2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – ставка 10%, в каждом последующем полугодовая ставка повышается на 1%. Определите коэффициент наращения за два года.

 

1 + å n i = 1 + 1 * 0,1 + 0,5 * 0,11 + 0,5 * 0,12 = 1,215.

         i    i i

 

Ответ: коэффициент наращения за два года равен 1,215 .

 

Задача 3. 200 руб. положены 1 марта на месячный депозит под 12% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?

 

Решение:

 

Точные проценты,

S=200*(1+31/365*0, 12)*(1+28/365*0, 12)*(1+31/365*0, 12) =205, 97 руб.

 

Начисление обыкновенных процентов (германская практика) дает значение наращенной

суммы.

 

S=200*(1+30/360*0, 12)³=206, 06 руб.

 

Ответ: 206, 06 руб. наращенная сумма.

 

 

Задача 4. Через 200 дней после подписания договора должник уплатит 2500 руб. Кредит выдан под 15% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что при начислении процентов используется простая учетная ставка и временная база К=360 дн. ?

 

D = Snd = 2500 x 0,15 х 200 / 360 = 208 руб.

P = S – D = 2500– 208= 2292 руб.

 

Ответ:  2292 руб. первоначальная сумма долга.

 

Задача 5. Платежное обязательство уплатить через 180 дней 2 млн.руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=18% годовых, было учтено за 60 дней до срока погашения по учетной ставке d=15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

 

P₂ = P₁(1+t₁i)(1-t₂d),

где P₁ - первоначальная сумма ссуды,

P₂ - сумма, получаемая при учете обязательства,

t₁ - общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты, t₂ - срок от момента учета до погашения долга.

P₂ = 2(1 + 180 x 0.18 / 365)(1 - 60 x 0.15 / 360)= 2.123 млн. руб.

 

Ответ: 2.123 млн. руб.  сумма, получаемая при учете.

 

Задача 6. Определить доходность операции для кредитора, если им предоставлена ссуда в размере 3 млн. руб. на 200 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга 3,5 млн. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d. Временную базу принять равной K=360 дней.

 

i= ^S-P  _{*K=3.5-3/3*200*360=0.29= 29%}

       ^Pt

d= ^S-P  _{*K= 3.5-3/3.5*200*360=0.25=25%}

         ^St 

 

Задача 7. Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 20% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой ставки простых процентов i. Считать временную базу K равной 365 дням.

 

d= ^dn =0.2/200/365=0.36500=36.500%

         ⁿ

 

i=    ^dn     =0.2/(1-0.2)*200/365=0.48667=48.677%

       ^(1-dn)*n

 

 

 

 

Задача 8. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 25% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 7% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

 

Решение:

 

(1+0,35)²*(1+0,32)*(1+0,30)=1,8225*1,32*1,30=3,12741

 

 

Задача 9. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 20%. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Результаты сравнить.

 

а) при простых процентах: n = 1/iпр = 1/0,2 = 5 лет;

б) при сложных процентах  и точной формуле:

n = ln2/ln(1+i_сл.) = 0.693147/ln(1+0.2) = 0.693147/0.182322 = 3,8 года;

в) при сложных процентах  и приближенной формуле:

n = 0.7/i = 0.7/0.2 = 3, 5 года

 

Задача 10. Размер ссуды 25 млн. руб. Предоставлена на 31 месяц. Номинальная ставка равна 50% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях:

1) когда на  дробную часть начисляются сложные  проценты,

2) когда на  дробную часть начисляются простые  проценты 

3) когда дробная  часть игнорируется.

Результаты сравнить.

 

Решение:

 

Ежеквартальное начисление процентов. Всего имеется  31

                                                                                                  3 ^{= 10 1/3}

1)S=25*(1+0,5/4)^{10 1/3}=84,433

2)S=25*(1+05,4)¹⁰*(1+0,5/4*1/3)=84,565

3)S=25*(1+0,5/4)¹⁰=81,183

 

Из сопоставления  наращенных сумм видим, что наибольшего  значения она достигает во втором случае, начисления на дробную часть  простых процентов.

 

 

Задача 11. Годовая ставка сложных процентов равна 14%. Определить, чему равна эквивалентная сила роста.

 

Решение:

 

δ = ln (1+i) = ln (1 + 0,14) = 0,13103,

 

Ответ: эквивалентная сила роста равна 13,103%

 

 

Задача 12. Пусть 17 марта был открыт счет до востребования в размере P1=4000 руб., процентная ставка по вкладу равнялась i=15% годовых. Дополнительный взнос на счет составил R1=2000 руб. и был сделан 12 августа. Снятие со счета в размере R2=-3000 руб. зафиксировано 1 октября, а 22 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета. К= 360 дней.

 

Решение:

 

С 17 марта по 12 августа

 

Р1=4000 t1=13+4*30+12=145

 

С 12 августа  по 1 октября

 

Р2=Р1+R1=4000+2000=6000 руб.

T2=18+30+1=49

 

С 1октября по 22 ноября

 

P3=P2+R2=6000-3000=3000руб.

T3=29+22=51

 

Найдём процентные числа

 

C1=P1*t1/100=4000*145/100=5800 руб.

C2=P2*t2/100=6000*48/100=2940 руб.

C3=P3*t3/100=3000*51/100=1530 руб.

 

Постоянный  делитель

 

D=K/i=360/15=24

 

Сумма процентов

 

I=(C1+C2+C3)/D=5800+2940+1530/24=427,91руб.

 

Сумма, выплачиваемая  при закрытии счёта 

 

P3+I=3000+427, 91=3427, 91 руб.

 

 

Задача 13. Цены за каждый месяц растут на 6%. Найдите годовой уровень инфляции.

 

 

Пусть уровень инфляции составляет 6% в месяц, значит, за месяц цены вырастают в (1 + 0,06) = 1,06 раза, а за год — в 1,06¹² = 2.012 раза.

 

Тогда, годовой темп инфляции составляет 2,012 - 1 = 1,012, т.е. годовой уровень инфляции достигнет 101,2%.

 

Ответ: 101,2% годовой уровень инфляции.

 

Задача 14. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

 

S = R (1+ i)n – 1 =R (1+i)n -1

         (1+ i) n -1              i

                  

Известно:

n = 5 года,

R = 5000000  руб.,

i = 0,10

5000000*(1+0.10)5-1/0.10=30525500руб.

 

Ответ: 30525500 руб. сумма на расчетном счете к концу указанного срока.

 

Задача 15. Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты – 4 года. Разовый платеж 5 000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке 7% годовых.

 

A = 5000 = 16936 руб.

Наращенная стоимость  аннуитета равна:

S = 5000 = 22199, 7 руб.

 

 

 

 

 

Старший преподаватель    ________________________      Фирсова Е.В.