Контрольная работа по "Финансовым вычислениям"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по ФИНАНСОВЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

 

Задача 1

15 апреля 2002 г.  клиент открыл в банке счет  до востребования на сумму  10 000 рублей. Ставка - 1% годовых, по условиям договора вклада начисление и капитализация процентов осуществляются по истечении каждого календарного квартала и при закрытии вклада. Сколько денег получит клиент банка при закрытии счета 8 июля 2002 г.?

Открыв счет в банке, клиент предоставил свои средства в пользование  банку. За это банк обязался выплатить  ему процент в соответствии со ставкой, указанной в договоре. Процент – это плата за использование привлеченных денежных средств, выраженная в рублях или иностранной валюте. Отношение этой платы к величине исходного капитала (кредита иди депозита) называется ставкой процента. Процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств, и выражается в долях единицы, либо в процентах.

В условии задачи заявлена годовая ставка процента. Это так  называемая расчетная ставка. На ее основе рассчитывается процентный доход за период, в течение которого средства находились на вкладе.

Если вклад W₀ лежал ровно год, то за год на него начисляется процент I исходя из годовой ставки i по формуле I= W₀´i:, так что на конец года величина вклада W составит

.

Для исчисления процентного  дохода I_t за более короткий промежуток времени t необходимо годовую ставку поделить на отношение количества дней, в течение которых вклад находился в банке, к числу дней в году:

.

Тогда величина состояния  на конец периода Wt составит

.

Если в договоре указано, что банковский год совпадает  с календарным, то размер начисленных  процентов будет одинаковым для  високосного и обычного года.

Определим срок, используемый для начисления процентов. День открытия и закрытия вклада не включаются в  срок, за который начисляются проценты. Проценты будут начислены в течение  периода с 16 апреля 2002 г. по 7 июля 2002 г. включительно, то есть, за 83 дня.

В первый раз проценты будут  начислены в конце второго  квартала 2002 г. К этому моменту  вклад пролежит 76 дней.

Сумма начисленных процентов  составит

Процент за 76 дней будет присоединен  к основной сумме вклада, так что  его величина составит

W₇₆= W₀+I₇₆=10 000+20,82= 10 020,82 руб.

Сумма вклада на конец второго  квартала послужит базой для последующего начисления процентов за 7 дней июля.

В итоге клиент получит  сумму в размере

 

Примечание. Данная финансовая операция представляет собой пример наращения. В финансовой математике под наращением понимают процесс увеличения первоначальной суммы капитала в результате начисления процентов.

Метод наращения позволяет  определить будущую величину капитала W_T то есть величину современной суммы W₀ спустя заданный  промежуток времени T, исходя из заданной процентной ставки i. Эта операция совершается путем умножения современной стоимости на множитель наращения (1+ i). В данной задаче 10 022,74 рублей является будущей величиной современной суммы 10 000 рублей. Величина множителя наращения за срок 76 дней составила 1,002082, за срок 7 дней – 1,000192. Отсюда множитель наращения за срок 83 дня равен 1,002274 (=1,002082×1,000192).

 

Задача 2

10 октября 2003 г.  гражданин А открыл в банке счет до востребования на сумму 120 000 рублей. Ставка - 1% годовых, по условиям договора вклада начисление и капитализация процентов осуществляются по истечении каждого календарного квартала. Сколько денег получит клиент банка при закрытии счета в этот же день в 2004 г.?

Капитализация процентов – это присоединение начисленных процентов к основной сумме вклада с дальнейшим начислением процентов на всю возросшую сумму вклада.

Определим срок операции. День открытия и закрытия вклада не включаются в срок, за который начисляются  проценты. Проценты будут начислены  в течение периода с 11 октября 2003 г. по 9 октября 2004 г. включительно. При  исчислении процентов число дней операции соответствует календарному. 2004-ый год – високосный. Следовательно, проценты будут начислены за 365 дней.

В первый раз проценты будут  начислены в конце 2003 г., когда  вклад пролежит уже 82 дня. Проценты будут причислены к основной сумме  вклада W₀=120 000 руб., так что его величина на конец года составит

На эту сумму будут  начислены проценты в конце первого  квартала 2004 г. за 91 день по соответствующей  ставке, и так далее до закрытия вклада, как показано в таблице:

 

Период	Дата начала	Дата окончания	Срок, дней	Множитель наращения	Сумма вклада на конец периода, руб.
1	11.10.03	31.12.03	82		120 269,59
2	01.01.04	31.03.04	91		120 568,62
3	01.04.04	30.06.04	91		120 868,39
4	01.07.04	30.09.04	92		121 172,22
5	01.10.04	09.10.04	9		121 202,01

В итоге клиент получит:

 руб.

 

Задача 3

Какой была бы эта  сумма (см. условие предыдущей задачи), если начисление процентов и их капитализация  осуществлялись бы:

а) лишь по истечении  календарного года;

б) ежедневно;

в) непрерывно?

а) В этом случае начисление процентов будет произведено  два раза за весь срок хранения вклада, и сумма будет меньше, чем при  ежеквартальном начислении, что видно  из нижеследующей таблицы.

 

Период	Дата начала	Дата окончания	Срок, дней	Множитель наращения	Сумма вклада на конец периода, руб.
1	11.10.03	31.12.03	82		120 268,85
2	01.01.04	09.10.04	283		121 198,80

 

б) При ежедневном начислении процентов сумма окажется больше, чем при ежеквартальном и ежегодном  начислении процентов (См. задачи 2 и 3а). Поскольку 2004-ый год високосный, то начисление и капитализация процентов будут осуществлены 365 раз: с 10 октября 2003 г. по 10 октября 2004 г. включительно пройдет 367 дней, а день открытия и закрытия вклада будут исключены из этого срока. (Если бы год был не високосный, то при таких же датах проценты были бы начислены 364 раза) В итоге сумма вклада возрастет до

 

 руб.

в) Непрерывное начисление процентов означает, что периоды начисления – бесконечно малые промежутки времени. Поэтому результат будет максимальным в сравнении с задачами 2б 3а и 3б.

Обозначим число периодов начисления n. В течение года сумма  вклада должна возрасти в  раз.

Поскольку в году бесконечно большое количество бесконечно малых  промежутков времени, то мы должны рассмотреть  предел записанного выражения, когда  число периодов начисления процентов  стремится к бесконечности. (Тогда  мы сможем воспользоваться известной  формулой второго замечательного предела) Имеем:

Проведем преобразования. Для этого показатель степени  поделим и умножим на одно и  то же число 0,01. Получаем

.

Введем новую переменную . Если n , то и m . Произведя замену, имеем

так как предел выражения, записанного  в квадратных скобках, является вторым замечательным пределом и равен  числу e≈2,718128.

В течение года хранения вклад возрастет до величины

руб.