Концепции логики

Концепции логики

Концепции логики различаются между собой прежде всего по способам решения метатеоретических проблем логики, связанных с основаниями математики:

·        Психологизм

·        Логицизм

·        Формализм (математика)

·        Интуиционизм

·        Конструктивная математика

·        Консерватизм (логика)

ПСИХОЛОГИЗМ В ЛОГИКЕ

— система взглядов, согласно которым законы логики являются законами психологии. Сторонники П. в л. стремились интерпретировать понятия, принципы и законы логики как непосредственное выражение тех устойчивых связей между мыслями, которые возникают у субъекта в процессе рассуждения. Ассоциация и диссоциация мыслей, их интеграция и дезинтеграция служат, по их мнению, основой для формирования суждений и умозаключений. Т.о., принципы и законы логики оказываются законами субъективной психической деятельности. Именно законы, исследуемые психологией мышления, раскрывают действительные механизмы того, как субъект сознательно ассоциирует разные мысли в процессе рассуждения. Логика же, как и язык, оформляет и выражает результаты этой субъективно-психологической деятельности мышления во внешних по отношению к этой деятельности логических формах понятий, суждений и умозаключений. Поэтому логические формы, как и языковые структуры, должны быть объяснены именно из ассоциации идей, возникающих в мышлении субъекта.  
П. в л. получил распространение после того, как психология отделилась от философии и приступила к эмпирическим исследованиям психической, в т.ч. мыслительной, деятельности человека. В результате этого некоторые психологи попытались истолковать объективные законы правильного, ведущего к истине мышления, исследуемые логикой, как субъективные психологические законы. П. в л., усиливший свои позиции в посл. четв. 19 в., возник и развивался прежде всего на почве ассоциативной психологии. Сводя суждения и умозаключения логики к ассоциациям субъективных представлений, его сторонники лишают логические законы объективного, или, точнее, интерсубъективного, содержания. В результате становится неясным, на какие общезначимые критерии опираются люди, когда они стремятся в чем-то убедить друг друга, вскрывают логические ошибки в рассуждениях, достигают взаимопонимания и согласия. Против П. в л. с резкой критикой выступил создатель математической логики Г. Фреге, убедительно показавший, что законы, правила и стандарты мышления, устанавливаемые логикой, не зависят от индивидуальных, психических особенностей отдельных людей и потому имеют интерсубъективныйхарактер. Воздействие критики Фреге на тогдашних философов было настолько сильным, что под ее влиянием Э. Гуссерль пересмотрел свои прежние взгляды и примкнул к антипсихологистам. В настоящее время П. в л. характеризуется как позиция, согласно которой: 1) логические законы являются «законами мысли», т.е. психологическими законами; 2) истина может быть сведена к ее верификации, 3) непосредственные чувственные данные должны быть признаны исходным пунктом научного исследования.  
Психологический анализ, бесспорно, дает возможность шире взглянуть на особенности механизма мыслительной деятельности. В частности, такой подход позволяет установить различие между психологическими особенностями правильных, рациональных и неправильных, иррациональных рассуждений, а также установить, какими патологическими процессами вызваны нарушения рационального мышления. Такие эмпирические исследования являются важными с т.зр. раскрытия психологии мышления, но они отнюдь не приводят к замене логических законов, принципов и правил психологическими законами. Превращение логики в раздел психологии лишило бы логику объективного критерия правильного, рационального, ведущего к истине мышления.

Логицизм — одно из основных направлений математики и философии математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения её исходных понятий к понятиям логики. Двумя другими основными направлениями являются интуиционизм и формализм^[1].

Мысль о сведении математики к логике высказывалась Лейбницем в конце 17 в. Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 — начале 20 вв. в работах Фреге, и в «Principia mathematica» за авторством Уайтхеда и Рассела^[2].

Взгляд на математику как  на часть логики обусловлен тем, что  любую математическую теорему в  аксиоматической системе можно  рассматривать как некоторое  утверждение о логическом следовании. Остается только все встречающиеся  в таких утверждениях константы  определить через логические термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логическим понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами некоторых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (см. парадокс Рассела), пытаясь свести её к логике. Обнаруженное противоречие побудило Рассела к пересмотру взглядов на логику, которую он сформулировал в виде теории разветвленных типов. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, которые неестественно считать чисто логическими^[2]. К ним относятся, например, аксиома бесконечности, которая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, то есть объектов наинизшего типа.

Ряд авторов полагает что с определенными изменениями логического аппарата Рассела логицизм возможен^[3], другие же считают что попытка сведения математики к логике не удалась и идея логицизма оказалась утопичной. В 1931 году Гёдель доказывал что никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики^[2].

ФОРМАЛИЗМ в математике

одно из осн. направлений в основаниях математики (и логики), к-рое в качестве гл. задачи в области обоснования математики считаетдоказательство непротиворечивости отд. математич. теорий и – в идеале – всей математики в целом. Задача эта приобрела особенноактуальный характер после обнаружения парадоксов (антиномий, противоречий) теории множеств – дисциплины, лежащей в фундаменте большей части математики. Поскольку парадоксы (напр., парадокс Рассела) могут быть сформулированы и в чисто логич. терминах, аналогичная проблема возникает и по отношению к логике (во всяком случае – по отношению к расширенному предикатов исчислению). Под Ф. в литературе обычно понимают несколько близких, но все же различных концепций.

Самая ранняя формалистская программа, развиваемая школой Д. Гильберта  начиная с 1904, выдвинула идею формализации логико-математич. теорий, т.е. представления их в виде (неинтерпретированных) исчислений (формальных систем), непротиворечивость к-рых может (и должна) быть затем установлена средствами нек-рой содержательной теории, названной Гильбертом м е т а м а т е м а т и к о й (или теорией доказательств) (подробнее см. Метатеория, Метод аксиоматический).

В дальнейшем абсолютизация идеи формализации, отождествление теории и исчисления привели к крайней формалистской  концепции, подверженной наибольшим возражениям  гносеологич. характера. Она состоит в том, что предложения теории сами по себе вообще ничего не означают, не имеют никакого смысла, что науч. теория как таковая есть всего лишь "игра со знаками", а пригодность ее обеспечивается формальным доказательством непротиворечивости (именно против этого тезиса направлена в первую очередь материалистич. критика Ф.). Однако сам Гильберт, имевший в виду приложимость математики к физике, отнюдь не считал "бессодержательность" математич. теорий обязательным тезисом Ф.

Различая в каждой конкретной теории предложения "действительные" (имеющие  или допускающие содержательную интерпретацию) и "идеальные" (не имеющие таковой), он считал только чрезмерным требование интерпретируемости к а ж д о г о предложения, ссылаясь, в частности, на пример теоретич. физики, интересующейся не столько интерпретациями отд. предложений, сколько согласованием с действительностью всего ее теоретич. описания в целом. Идеальные предложения – при условии, что их введение не приводит к противоречиям,– позволяют во мн. случаях упростить общую структуру теории. С точностью до терминологии, разделение предложений на действительные и идеальные принимается по существу всеми школами оснований математики, и расхождения между ними касаются гл. образом вопроса о роли идеальных предложений (для подавляющего же большинства математиков эта проблема вообще не встает: анализдопущений, из к-рых исходит генезис изучаемых ими объектов, являющихся, как правило, результатом неск. ступеней абстракции и идеализации – и уже потому не истолковываемых непосредственно в нематематич. терминах,– просто не входит в их задачу).

Под Ф. часто понимают также идущую от Гильберта гипотезу о возможности  полной (см. Полнота) и непротиворечивой формализации всей классич. математики. [В духе известного тезиса Лейбница о "замене рассуждения вычислением", на реализацию к-рого по существу претендовал Ф., естественно было бы рассчитывать, что такая формализация приведет к разрешимому (см. Разрешения проблемы) исчислению или хотя бы к совокупности таких исчислений; однако этой иллюзии представители Ф. не питали с самого начала]. Доказанная К. Гёделем (1931) теорема о неполноте аксиоматич. арифметики, часто трактуемая как "опровержение Ф.", опровергает фактически лишь упомянутую гипотезу Гильберта (и не имеет непосредственного отношения к сформулированной выше крайне формалистич. доктрине, достаточно оспоримой и самой по себе). Предпринятые рядом ученых (В. Аккерманом, Г. Генценом, П. С. Новиковым, Г. Шютте и др.) успешные поиски "конструктивных" средств, позволяющих получить метатеоретич. доказательства различных разделов формальной математики, в т.ч. классич. арифметики, в обход трудностей, обусловленных теоремой Гёделя (к числу таких средств относятся, напр., нек-рые формы бесконечной индукции), ревизуют не столько Ф. в целом, сколько финитизм – ту часть концепции Гильберта, к-рая строго кодифицирует допустимые для метатеоретич. исследований методы доказательства.

Наконец, Ф. принадлежит идея рассматривать не-интерпретированные исчисления сами по себе, независимо от вопроса о к.-л. их интерпретации или даже возможности интерпретации. Осознание возможности чисто формального рассмотрения логики (идея, провозглашенная, но не осуществленная до конца еще Аристотелем) и логико-математич. исчислений, важнейшие результаты, относящиеся к познанию "техники нашего мышления", полученные представителями школы Гильберта, и развитый ими аппарат давно и прочно вошли в арсенал математич. логики и широко используются всеми математиками и логиками, в т.ч. и находящимися в резкой оппозиции к т. зр. Ф. в целом: логицистами (см. Логицизм), интуиционистами (см. Интуиционизм), конструктивистами (см. Конструктивное направление). Проведенный Гильбертом и его последователями скептический анализ теоретико-множеств. абстракций (в первую очередь – абстракции актуальной бесконечности) серьезно подорвал доставшуюся математике от "наивной" теории множеств конца 19 в. платонистскую веру в "реальность" результатов этих абстракций. И хотя предпринятая Ф. "логическая реабилитация" методов, связанных с принятием актуально бесконечных множеств в качестве допустимых мыслимых объектов ("идеальных"), является, напр., с т. зр. последовательных интуиционистов непростительным оппортунизмом, такая "компромиссная" позиция вполне устраивает по существу всех классически настроенных математиков, в т.ч. и охотно критикующих "формалистические извращения", избавляя их и от необходимости соблюдать суровую диету интуиционистски приемлемых методов, и от окрашенных агностицизмом сомнений в осмысленности их деятельности.

Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948, добавления 6–10; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 8, 14, 15, 42, 79 (имеется библ.); Новиков П. С., Элементы математич. логики, М., 1959 (введение); Генцен Г., Непротиворечивость чистой теории чисел, пер. с нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967, с. 77–153. См. также лит. при ст. Математика, Математическая бесконечность, Математическая логика.

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным  направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том  числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

— одна из наиболее важных ветвей неклассической логики, имеющая своей филос. предпосылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 гол. математик и логик А. Рейтинг — ученик создателя интуиционизма Л.Э.Я. Брауэра — дал аксиоматическую формулировку И.л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может идти только по следам математической конструкции». В И.л. не действует закон исключенного третьего, а также ряд др. законов классической логики, позволяющих доказыватьсуществование объектов, которые невозможно реализовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двойного отрицания и закон приведения к абсурду.  
Отбрасывание закона исключенного третьего не означает принятия отрицания этого закона; напротив, И.л. утверждает, что отрицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) является верным. Отбрасывание не должно пониматься так же, как введение какого-то третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью.  
В классической логике центральную роль играет понятие истины. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И.л. смысл связок задается путем указания тех необходимых и достаточных условий, при которых может утверждаться сложное высказывание.  
Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как p, так и q. Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Математическое высказывание р можно утверждать только после проведения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие противоречия здесь принимается в качестве неопределяемого, практически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2. Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q.  
Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается.  
И.л. является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере существования объектов, исследуемых в математике.  
Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исключенного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, разрабатывались рус. математиками А.Н. Колмогоровым, В.И. Гливенко, А.А. Марковым, Н.А. Шаниным и др. В результате критического переосмысления основных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.