Логика как наука о мышлении, ее предмет и задачи

     В основе логических исследований Буля лежит аналогия между логикой и алгеброй. Введя в качестве операций над классами сложение, умножение и отрицание, он построил строгое исчисление классов, которое в дальнейшем было названо алгеброй Буля. Она представляет собой абстрактную теорию любого множества объектов, на котором определяется семья названных выше операций и отношения в котором подчинены законам идемпотентности, коммутативности, дистрибутивности и др.

     Своим исчислением Буль подвел фундаментальную  базу под математику и логику. Дальнейшее усовершенствование алгебры логики было осуществлено английским логиком У.С. Джевон-сом (1835 — 1882), немецким логиком Э. Шредером (1841 — 1902), русским логиком П.С. Порецким (1846 — 1907). Булева алгебра, благодаря своей абстрактности и универсальности, легла в основу исчисления сугубо логических объектов — предикатов и высказываний. Трудами американского логика Ч. Пирса (1839 — 1914) и немецкого логика Г. Фреге (1848 — 1925) разрабатывается исчисление высказываний. Большой заслугой русского логика и математика И.И. Жегалкина (1869 — 1947) явилась дальнейшая разработка исчисления классов. Известный немецкий математик и логик Д. Гильберт (1862—1943) усовершенствовал метод формализации в применении к логическим операциям над высказываниями.

     Современный вид математической логике придал английский философ и математик Бертран Рассел (1872—1970). В своих работах он обобщил и систематически изложил теорию исчисления высказываний и классов, создал теорию типов как научный инструмент, содействующий преодолению логических парадоксов. Свои исследования в области математической логики Б. Рассел совместно с А. Уайтхедом (1861—1947) изложил в трехтомном труде, изданном в 1910—1913 гг. В этой работе математическая логика развивается методом аксиоматизации и формализации исчислений и высказываний, классов и предикатов.

     Кроме названных ученых, больших успехов в развитии формальной логики в ее символическом варианте достигли А. Тарский, А. Черч, С. Клини, У. Куайн, Р. Карнап, Я. Лукасевич, Е. Пост, Л.Э. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг, А.Н. Колмогоров, А.И. Мальцев, А.А. Марков, П.С. Новиков, Н.А. Шанин, Д.А. Бочвар, В.И. Шестаков, В.А. Успенский, С.А. Яновский и др.

     Созданная трудами многих ученых современная  формальная логика представляет собой  разветвленную научно-теоретическую  область знаний. Ее основные направления отличаются разным уровнем абстрактности, точностью применяемых методов и практической значимостью.

     Основной  принцип формальной логики предполагает — и это следует специально подчеркнуть, что каждое наше рассуждение, каждая мысль, выраженная в языке, имеет не только определенное содержание, но и определенную форму. Предполагается также, что содержание и форма отличаются друг от друга и могут быть разделены. Содержание мысли не оказывает никакого влияния на правильность рассуждений, и поэтому от него следует отвлечься. Для оценки правильности мысли существенной является лишь ее форма. Ее необходимо выделить в чистом виде, чтобы затем на основе такой «бессодержательной» формы решить вопрос о правильности рассматриваемого рассуждения.

     Каждая  из логических форм играет определенную роль в мышлении, а значит и в познании мира.

     Форма мысли – это способ связи частей мыслимого содержания. Какие же «части»  могут быть у «невидимого» мышления? Только такие же идеальные образования. Ими являются признаки, т.е. свойства предметов, процессов, явлений.

     Мышление  представляет собой разнообразные  сочетания мыслей. Из простых, элементарных, мысленных форм образуются более  сложные. Пользуясь метафорой, можно сказать, что все наши мысли укладываются в «три коробочки» в следующей последовательности:

Понятие = признак + признак.

Суждение = понятие + понятие.

Умозаключение = суждение + суждение.

     Абстрагируясь от упрощений, свойственных любой схеме, можно заметить, как усложняется мысль от одной её формы к другой. Понятие – отражает общие существенные признаки предметов. При помощи понятий мышление «кодирует» предметы реального мира и создает его идеальную модель. В уме мы «говорим» о мире на языке понятий. Понятия как бы «фотографируют» мир в его существенных признаках и служат различению предметов («футляр» – это «не-ручка», а «лекция» – «не-экзамен»). Суждение позволяет высказываться о наличии или отсутствии этих признаков у предметов («Мухомор не является съедобным»). Это более сложная форма мысли, она «сложена» уже не из признаков, а из понятий и может быть истинной либо ложной. Умозаключение - самая сложная форма человеческой мысли, образованная из суждений. Благодаря ей мы получаем знание о новых признаках на основании тех, которые уже известны («Все цитрусовые – теплолюбивы, а мандарин – цитрусовый. Значит, мандарин - теплолюбивое растение»).

     Логику  стали называть «формальной» по предмету её исследования – анализу форм человеческой мысли. «Оформить» мысль – значит выразить её в виде понятия, суждения или умозаключения.

     Формализация  простых высказываний (или суждений) привела к созданию пропозициональной логики, или исчисления высказываний. Суждение в математической логике принято называть высказыванием.

     Логика  высказываний не анализирует внутреннюю структуру простых высказываний. Они берутся как неразложимые далее атомы, из которых с помощью связок образуются сложные высказывания.

     Логика  предикатов – основной раздел современной  логики в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний.

     Логика  предикатов является расширением логики высказываний: все законы логики высказываний являются также законами логики предикатов, но не наоборот. В этом смысле логика высказываний более фундаментальна, чем логика предикатов.

     Предикат  — это языковое выражение, обозначающее какое-то свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство отдельного предмета, например, «быть зеленым», называется одноместным. Предикат, обозначающий отношение, называется двухместным, трехместным и т.д. в зависимости от числа членов данного отношения. Например, «любит» — двухместный предикат, находится между» — трехместный.

     В современной логике предикация рассматривается  как частный случай функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Например, выражение «...есть зеленый» (или «х есть зеленый») является функцией от одной переменной, «... любит... « («х любит у») — функция от двух переменных и т.д. Эти выражения превращаются в высказывания при соответствующей подстановке имен вместо переменных.

     В логике предикатов — в дополнение к средствам логики выбываний  — вводятся логические операторы («для всех») и («для некоторых», или «существует»), называемые кванторами общности и существования  соответственно. Для выявления субъектно-предикатной структуры высказываний вводится бесконечный перечень индивидных переменных: х, у, z, ..., х1, у1, z1,..., являющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных: Р, Q, R, ..., Р1, Q1, R1, ..., представляющих свойства и отношения объектов. Индивидные переменные питают значения в произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными могут вводиться индивидные константы, имена собственные.

      Запись х (S(x) → P(x)), означает «Всякий  х обладает свойством Р», х (S(x)& Р(х)) – «Существуют такие х, которые не обладают свойством Р.

Формула логики предикатов называется общезначимой, если она в каждой интерпретации, в каждом приписывании содержательного  смысла входящим в нее символам. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективной процедуры, позволяющей для произвольно взятой формулы решить, является ли она общезначимой или нет.

     В общем виде символический язык исчисления предикатов включает:

     1. a, b, c, … - предметные постоянные. Их используют для собственных или описательных, т.е. единичных имен предметов;

     2. x, y, z, … - предметные переменные. Символы, обозначающие общие имена предметов, принимающих значение в той или иной области;

     3. p, q, r, … - пропозициональные переменные. Это – символы высказываний.

     4. P¹, Q¹, R¹, … , Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, … - предикатные переменные с “n” – местностью;

     5. ∀; ∃ - кванторы “всеобщности” и “существования”, соответствующие словам “все” и “некоторые” естественного языка;

     6. логические союзы:

     • ;& ; ∧     -  конъюнкция («и»);

     v; v ; v     - дизъюнкция («или», «либо, либо»);

           ;          - импликация («если, то»);

         ;            - эквиваленция («если и только если…»);

        ;  ; ~       - отрицание («не», «неверно, что»)

     7. технические знаки: (; ) – левая  и правая скобки.

     Других  знаков алфавит языка логики предикатов не содержит.

     Упражнения:

      1. Приведите примеры нулевых, единичных и общих понятий:

      Нулевые («Баба Яга», «Кащей Бессмертный», «Дед Мороз», «вечный двигатель», «марсианский житель);

      Единичные («Солнце», «город Москва», «первый президент России», «писатель Лев Толстой»);

      Общие («небесное тело», «город», «президент», «писатель»).

     2. Запишите на языке исчисления  предикатов следующие высказывания:

1) "Все члены шенгенского союза являются европейскими государствами"

2) "Некоторые зачеты являются дифференцированными"

3) "Ни один из переводов Шекспира не принадлежит X"

4) "Некоторые грибы не являются съедобными"

1) ∀х (S(x) → P(x)),

2) ∃х (S(x)&Р(х))

3) ∀х (S(x)> → Р(х))

4) ∃х (S(x)& Р(х))

     3. Приведите примеры следующих  символических выражений:

1) ∀х (S(x) →P(x)).

2) ∀х (S(x) → P(x)).

3) ∃х (S(x) ∧P(x)).

4) ∃х (S(x) ∧  P(x)).

1) Все квадраты являются прямоугольниками.

2) Ни у одного человека нет крыльев.

3) Некоторые студенты все сдают на отлично.

4) Некоторые люди по окончании школы не считают нужным учиться дальше.

Использованная  литература: 

1. Бартон  В. И. Логика, Мн.: Новое знание, 2001.

2. Ивин  А.А. Логика, М.: Фаир-пресс ,2000.

3. Кириллов  В. И., Старченко А. А. Логика. М., 1982.

4. Малыхина Г.И. Логика, Мн.: Выш. шк.,2002.

5. Петров Ю. А. Азбука логичного мышления. М., 1991.

6. Сборник упражнений по логике. Мн., 1990.