Основы логики

   Основы логики

       Логика(от греч. logos – слово, понятие, рассуждение, разум) – наука о законах и операциях правильного мышления. Логически правильный вывод позволяет из имеющихся истин получать новые истины с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.п.

      В формальной логике правильность  рассуждения зависит только от  его формы и и не зависит от конкретного содержания.

      Формальная логика содержит в себе некоторые основные понятия, такие как : высказывание, истинность высказывания и вывод.

      Высказывание – грамматически правильное повествовательное предложение. Для высказывания важно его содержание, про него можно сказать, истинно оно или ложно. Существует ещё вариант «Я пока не знаю». Например, предложение «На Марсе есть жизнь» является высказыванием, но считать ли его истинным или ложным науке не известно, пока это вопрос договора. Предложения типа «Который час?» или «Здравствуйте!» не являются высказываниями, так как никто и никогда не сможет сказать про них – истинны они или ложны. Обычно считают, что высказывание может принимать два истинностных значения «истина» или «ложь». Истинностные значения сложных высказываний обычно записываются в таблице истинности .

     Вывод -  это рассуждение по правилам логики, в ходе которого из исходных высказываний (посылок) получают новое высказывание (заключение). Например, правильным является рассуждение(или вывод), следующее схеме (правилу ): «Если есть первое, то есть и второе; есть первое; значит, есть второе». Вместо слов  «первое» и «второе» можно подставить любые истинные высказывания получить истинное заключение. По этой схеме из истинных высказываний «Если светит солнце, то сейчас день» и « Светит солнце» вытекает истинность высказывания «Сейчас день».

     Формальная логика работает с логическими константами и переменными. Слова «первое» и «второе» в примере выше – это переменные формальной логики. Они имеют самостоятельное содержание. Их принято обозначать буквами.

     Например, высказывания «Все учебники любят  учиться» и «Все медведи любят  мед» различаются по смыслу. Более  того, первое высказывание ложно,  а второе истинно. Но в формальной  логике содержательные части   заменяются переменными, и оба  высказывания принимают вид: «Все  S есть P».

      Константы или логические связки («не», «и», «или», «если, то», «весь» и т.д.) не имеют содержания, они используются для получения новых содержательных выражений из других.

      Использование констант и исходных  высказываний для составления  новых, сложных высказываний называют логическими операциями.

      «Мышление» или, точнее, способы  вычисления компьютера основаны  на формальной логике, изобретенной  Джорджем Булем в XIX в

 Основные  логические операции

 Операция  отрицания (инверсия)

        Присоединение «не» к высказыванию меняет его истинностное значение на противоположное.

         Логическое отрицание обозначается  «», «~ А» или «  А».

 Таблица 11. Таблица истинности

 для операции «отрицание»

 (А  – исходное высказывание,

 1 – истина, 0 – ложь)

 
 
 

 Пример

 Высказывание  «Волга впадает в Каспийское море» - истинно, его отрицание «Неверно, что Волга впадает в Каспийское море» или «Волга не впадает в  Каспийское море» - ложно. Наоборот, «Дважды  два равно пять» - ложно, тогда  «Неверно, что дважды два равно  пять» или «Дважды два не равно  пять» -  истинно.

 Операция  логического умножения (конъюнкция)

        Объединение высказываний с помощью  логического «и». Высказывание, полученное в результате  конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны все исходные высказывания.

        Конъюнкция  обозначается «/\», «&» или «X».

 Таблица 12. Таблица истинности

 для операции «конъюнкция»

 (А  и В – исходные высказывания,

 1 – истина, 0 – ложь)

 Пример

         «2 = 2 и 3 = 3». Здесь истинно каждое из простых высказываний и, следовательно, истинно полученное высказывание. Иными словами: 1) истинно, что «два равно двум»; 2) истинно, что «три равно трём», следовательно,  3) истинно, что «два равно двум и три равно трём»

         «2 = 2 и 2 = 5» - «два равно двум»   истинно, но «два равно пяти»  ложно, следовательно, высказывание  «два равно двум и два равно пяти» - ложно

 Операция  логического сложения (дизъюнкция)

 Соединение  высказываний с помощью логического  «или». Высказывание, полученное в результате дизъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний.

 Дизъюнкция  обозначается «\/» или «+».

Сначала, используя  таблицу истинности для импликации, выписываем значения А->В для каждой пары исходных значений А и В. Затем аналогично, значения В->А. Наконец записываем истинностные значения для конъюнкции (/\), используя в качестве исходных значений двух предыдущих столбиков. Из полученной таблицы истинности видно, что данное сложное высказывание истинно, только если истинностные значения исходных высказываний совпадают, т.е. А и В или оба истинны, или оба ложны. Такое отношение между А и В называется эквивалентностью. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Алгоритм  и его свойства

1.Слово алгоритм происходит от имени выдающегося математика среднего востока Мухамеда Аль- Хорезми(1785-1850). Им были предложены приемы выполнения арифметических вычислений с многозначными числами. Позже в Европе эти приемы назвали алгоритмами.

Алгоритм –  это последовательность команд выполняемых  строго в определённом порядке и  ведущих к решению задачи. Алгоритмы  сформулированы для исполнителей.

Свойства  алгоритма.

1)точность(каждая команда должна определять однозначные действия исполнителя).

2)непрерывность(последующие команды связаны с предыдущим).

3)результативность(должна приводить к решению задачи).

Задание №1

Алгоритм  приготовления вермишели

1)Взять кастрюлю

2)Налить воды

3)Когда закипит  вода, запускаем вермишель

4)Посолить

5)Ждём пока  сварится

6)Сливаем воду

7)Промываем

2. Основные типы  алгоритма

1)линейные

2)разветвляющие

3)циклические

5)комбинированные

3. Способы описание  алгоритмов

1)словесный

2)графический

3)программный

4. Линейный алгоритм – это алгоритм в котором все действия выполняются последовательно, одно за другим.

На программном языке при записи алгоритмов используются служебные слова.

Запись алгоритма  начинается с заголовка. Основная часть называется тело алгоритма, заканчивается словом «конец».

Тело алгоритма  – это последовательность команд.

Графический способ описания линейного  алгоритма.

Графический способ описания представляется в виде блок-схемы.

Блок-схема состоит  из геометрических фигур (блоков) которые  соединены между собой стрелками.

Каждая фигура обозначает отдельные действия. Каждая стрелка указывает на последовательность выполнения действий.

                               - начало, конец. 
 

                        

                               - ввод, вывод. 

                          - действие. 

                        

да                         нет

                                          - условие 
 
 

                                     - вывод на печать. 
 
 

Задача.

Известна длина  и ширина прямоугольника (а, в). Найти  периметр (Р).

    Н                                
 
 

                                                   
 
 
 

Разветвляющие алгоритмы.

А данном случае исполнитель выполняет команду  ветвления. Программный способ: Формат-Команда  ветвления

Алгоритм

Н.в. (начало ветвления)

Если <условие> то <1 серия команд> иначе <1 серия команд> к.в. (конец ветвления)

Записать  следующее предложение  программным способом.

Если холодно, то надеть шапку, если тепло нечего не одевать

Н.в.

Если <холодно> то <одеть шапку>иначе <не одевать> к.в.

Графический способ разветвляющих  алгоритмов.

В основе разветвляющего алгоритма лежит блок – схема  проверки условия.

 

да                         нет

                                          
 
 

Если условие  истинно, то переход осуществляется по ветке ДА, если ложно то ветви НЕТ.

Задание

Найти разность двух натуральных чисел.(ответ положительный)

 
 

 
 

 

 

                                                         да                            нет

 

 

Циклические алгоритмы.

Циклические алгоритмы – это такой алгоритм, действия которого многократно повторяются. Очень часто при решение задач необходимо многократное повторение одинаковых действий. Для того, чтобы сократить размер такого алгоритма применяется цикл. Последовательность многократно повторяющихся действий называется циклом. Цикл повторяется столько раз, пока выполняется условие. Конструкция цикла на программном языке выполняется в несколько этапов.

Пример:

Составить алгоритм для покраски забора.

    1-ая  решётка