Приближенное решение нелинейных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Казахский Национальный Технический  Университет им. К.Сатпаева

Кафедра «Компьютеризация технологических  процессов и управление проектов» 

 

 

 

 

Лабораторная работа №1.

Тема: Приближенное решение нелинейных уравнений.

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент гр. Ауб-09-1р

                                                                                                Толепберген С.О.

                                                                            Проверил: Хасенова Г.И.

 

 

 

 

 

Алматы 2010

Задание

Решить  нелинейное уравнение следующими методами:

• деления пополам (метод бисекций);
• последовательных приближений (простых итераций);
• касательных (метод Ньютона).

Проверить на сходимость, привести график фукции, представить расчет на MATHCAD или MATLAB или MAPLE, сравнить с результатами программы на Delphi.

Вариант №17.

x³+0.2x²+0.5x+0.8=0

а) Графический способ(с помощью Maple).

 

 

б) Аналитический  способ.

Функция f(x) монотонно возрастает, т.к. производная f’(x)>0. Непрерывная.

Уточнение корня. Заметим, что f(-1)=-0.5, f(-1)<0; и f(-0.5)=0.475, f(-0.5)>0. Значит, уравнение имеет 1 отрицательный корень, лежащий на интервале    (-1,-0.5).

1. Метод бисекций (деление пополам).

№	a	b	f(a)	f(b)	C=(a+b)/2	F(c)	ε=10^(-4)
1	-1	-0.5	-0.5	0.475	-0.75	0.115625	0.5
2	-1	-0.75	-0.5	0.115625	-0.875	-0.154297	0.25
3	-0.875	-0.75	-	+	-0.8125	-0.010596	0.125
4	-0.8125	-0.75	-	+	-0.78125	0.054608	0.0625
5	-0.8125	-0.78125	-	+	-0.796875	0.022542	0.03125
6	-0.8125	-0,796875	-	+	-0.804688	0.006107	0.015625
7	-0.8125	-0.804688	-	+	-0.808594	-0.00221	0.007812
8	-0.808594	-0.804688	-	+	-0.806641	0.001956	0.003906
9	-0.808594	-0,806641	-	+	-0.807618	-0.000126	0.001953
10	-0.807618	-0.806641	-	+			0.000977

 

Определяем  погрешность вычисления по формуле  ε=|b-a|=0.000977.

Значение  корня с заданной точностью 10^(-4) будет равно X=-0.807618

 

2. Метод простой итерации(метод последовательных приближений).

1)S(x)=x+c(x³+0.2x²+0.5x+0.8) на [-1,-0.5];

2) s’(x)=1+c(3x²+0.4x+0.5);

3)s’(-1)=1+3.1c ;  s’(-0.5)=1.05c;

4)приравниваем каждый к 0 и получаем: C₁=-0.322581, C₂=-0.952381;

5)C=(C₁+C₂)/2=-0.637481

6)Подставляем в общую функцию(эквив.)

s(x)=x-0.637481(x³+0.2x²+0.5x+0.8).

 

 

 

 

N итер.	x	f(x)	s’(x)	ε
1	-0.75	0.115625	-0.823709
2	-0.823709	-0.03504	-0.801372
3	-0.801372	0.013114	-0.809732
4	-0.809732	-0.004645	-0.806771
5	-0.806771	0.001679	-0.807841	0.00107
6	-0.807841	-0.000615	-0.807449	0.000392

 

Ответ: -0.807449.

 

     3.Метод Касательных(Метод Ньютона).

 

N	X	F(x)	F’(x)	x-f(x)/f’(x)
1	-0.75	0.115625	1.8875	-0.811258
2	-0.811258	-0.007922	2.149916	-0.807573
3	-0.807573	-0.00003	0.5	-0.807513
4
5			ε=0.00006

 

Ответ: -0.807513