Разработка статистической модели. Определение вида функциональной зависимости

МИНИСТЕРСТВО  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ПО СВЯЗИ  И ИНФОРМАТИЗАЦИИ

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ 

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

им. проф. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА

Факультет Информационных Систем и Технологий

Кафедра Информационных и Управляющих Систем

 

 

 

 

Курсовая  работа

 Дисциплина «Моделирование систем»

Тема «Разработка статистической модели. Определение вида функциональной зависимости»

 

 

 

 

 

Выполнила студентка

группы ИСТ93-у: Кузнецова В.В.

Преподаватель: Липанова И.А.

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2011

Оглавление

1 Введение 3

2 Техническое задание 4

2.1 Исходные данные 4

2.2 Задача 4

3 Теоретическая часть 6

4 Расчетная часть 9

5 Заключение 13

6 Список литературных источников 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

 

Невозможно  представить себе современную науку  без широкого применения математического моделирования, суть которого состоит в замене

исходного объекта его образом  – математической моделью и дальнейшем

изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-

логических алгоритмов. Этот метод  сочетает в себе достоинства, как  теории,

так и эксперимента, поскольку работа не с самим объектом (явлением,

процессом), а с его моделью  дает возможность относительно быстро и без

существенных затрат исследовать  его свойства и поведение в  различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических средств информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

В наше время  вышесказанное является актуальным в условиях постоянного роста требований к эффективности устройств, применяемых в различных сферах деятельности, к сокращению сроков исследования и разработки нововведений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Техническое задание

2.1 Исходные данные

 

Исследование  функционального состояния сердечной  мышцы производилось с помощью  эхокардиографа, дающего ультразвуковое изображение структур сердца.

Минутный  объем сердца (МО), конечный диастолический объем (КДО) и конечный систолический  объем (КСО) – это параметры, характеризующие  состояние сердечной мышцы. Они вычислялись самим прибором по структурным признакам (конечный систолический размер, конечный диастолический размер и др.), указанным врачом.

Пациентам в  процессе лазерной терапии производилось  дополнительное обследование с помощью  эхокардиографа.

2.2 Задача

 

Необходимо  определить – оказывает ли лазерная терапия крови влияние на состояние  сердечной мышцы, имеется ли функциональная зависимость между минутным МО и  ударным УО объемами, вычисляемым  по формуле УО = КДО – КСО и  какого вида. МО = f(УО)?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№	МО	КДО	КСО
1	4,1	90,1	35,0
2	5,7	131,2	48,5
3	6,1	124,4	40,6
4	7,9	145,6	40,6
5	6,6	134,8	44,5
6	7,0	134,8	40,0
7	8,9	149,3	46,4
8	4,0	95,9	36,7
9	4,5	104,3	31,7
10	5,4	114,4	37,0
11	5,4	121,0	42,5
12	4,2	79,1	21,4
13	6,0	71,3	14,4
14	4,5	81,7	20,6
15	4,8	95,9	31,7
16	5,5	104,9	25,5
17	8,0	160,6	52,6
18	8,6	156,8	49,1
19	7,1	138,3	29,5
20	6,4	92,9	21,4

 

Таблица 1 –  Экспериментальные данные

 

 

 

Рисунок 1 – График предста

вления экспериментальных данных

 

3. Теоретическая часть

 

Задача выбора вида функциональной зависимости - задача неформализуемая, так как одна и та же экспериментальная зависимость может быть описана разными аналитическими выражениями приблизительно с одинаковой точностью.

]Простейший экспресс - метод статистической обработки - метод контура( Рисунок 2). Его можно использовать тогда, когда разброс экспериментальных точек не слишком велик. Суть метода - обведение экспериментальных точек плавными границами. Требование плавности подразумевает, что некоторые точки могут оказаться вне контура.

 

Рисунок 2 – Метод контура

 

Исходя из Рисунка 2, следует выдвинуть  гипотезу о том, к какому классу может принадлежать функция f, а затем подобрать "лучшую" функцию в этом классе. Выбранный класс функций должен обладать некоторой "гладкостью", т.е. "небольшие" изменения значений аргументов должны вызывать "небольшие" изменения значений функции.

Простым, удобным для практического  применения и отвечающим указанному условию является класс полиномиальных функций.

Модель, использующая полиномиальное приближение имеет  вид

y = a₀+ a_1*C+a_2*C²+...a_МC^М=åa*Cⁱ,

где y - отклик системы;

x - независимая,  изменяемая переменная (вход);

М –степень полинома

a_О,...a_М - коэффициенты, параметры модели.

Для такого класса задача выбора функции  сводится к задаче выбора значений коэффициентов a_О,...a_М . Рассчитать параметры модели с минимальной погрешностью позволяет МНК.

Метод наименьших квадратов (МНК) – это метод определения  таких значений параметров модели, при которых минимизируется сумма  квадратов уклонений экспериментальных  значений отклика от предсказываемых:

S = S (y_i^э - y_i^т)² => min,   i = 1,2, …, n,

где i – номер эксперимента, n – число экспериментов,

y_i^э – экспериментальное (наблюдаемое) значение отклика;

y_i^т – теоретическое (предсказываемое по модели) значение отклика.

Минимальное значение функции S достигается при равенстве нулю первых производных по параметрам модели. Необходимо решить систему уравнений из таких производных.

ì dS/da₀ = 0

  dS/da₁ = 0

    . . .   (1)

î dS/da_М = 0

      

Для количественной оценки правильности выбора модели используется сумма квадратов уклонений:

S = S (y_i^э - y_i^т)²,

где  i – номер измерения i = 1,2, …, n,  n – число измерений,

y_i^э – экспериментальное i-е значение переменной y,

y_i^т - теоретическое (предсказываемое по модели) i-е значение переменной y

Из-за большого количества наблюдений целесообразно  использовать среднеквадратическое значение невязок:

σ_н =-(m+1))   ,

где n – число наблюдений,

(m+1)  - число параметров модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Расчетная часть

 

По условию  задачи необходимо найти значение переменной

УО = КДО –  КСО:

№	МО	КДО	КСО	УО
1	4,1	90,1	35	55,1
2	5,7	131,2	48,5	82,7
3	6,1	124,4	40,6	83,8
4	7,9	145,6	40,6	105
5	6,6	134,8	44,5	90,3
6	7	134,8	40	94,8
7	8,9	149,3	46,4	102,9
8	4	95,9	36,7	59,2
9	4,5	104,3	31,7	72,6
10	5,4	114,4	37	77,4
11	5,4	121	42,5	78,5
12	4,2	79,1	21,4	57,7
13	6	71,3	14,4	56,9
14	4,5	81,7	20,6	61,1
15	4,8	95,9	31,7	64,2
16	5,5	104,9	25,5	79,4
17	8	160,6	52,6	108
18	8,6	156,8	49,1	107,7
19	7,1	138,3	29,5	108,8
20	6,4	92,9	21,4	71,5

 

Таблица 2 –  Вычисление УО

 

Упорядочим  исходные данные по возрастанию:

УО	МО
55,1	4,1
56,9	6,1
57,7	5,7
59,2	4,5
61,1	6,6
64,2	7
71,5	7,1
72,6	5,4
77,4	5,4
78,5	5,5
79,4	8,9
82,7	6
83,8	4,2
90,3	4,5
94,8	4,8
102,9	6,4
105	4
107,7	8,6
108	7,9
108,8	8

 

Таблица 3 –  Упорядоченные значения x и y

 

Для вычисления параметров модели будем  использовать программу Mathcad 14, как удобное средство визуализации результатов моделирования. Путем изменения значения последнего параметра функции

 

мы сможем изменить степень полинома и пронаблюдать за изменением графика и среднеквадратической невязки, что позволит определиться с выбором оптимальной степени  полинома.

Для получения  теоретического графика, приближенного  к ЭД достаточно 4-х параметров модели (это видно по Рисунку 2). Для уменьшения погрешности вычислений возьмем  значение степени полинома равным 10, так как выбранное вычислительное средство позволяет осуществить  столь громоздкие расчеты. Таким  образом мы будем искать параметры  такой модели:

y=a₀+a₁*x+a₂*x²+a₃*x³+a₄*x⁴+a₅*x⁵+a₆*x⁶+a₇*x⁷+a₈*x⁸+a₉*x⁹+a₁₀*x¹⁰

 

• Запишем в программе вспомогательную функцию regress, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp. Степень полинома равна 10.

 

 

• Функция interp возвращает значение полинома в точке t:

 

• Получаем значение параметров модели:

 

 

 

• Задаем значение числа наблюдений

 

 

 

• Получаем значение суммы квадратов уклонений и среднеквадратической невязки:

 

 

Рисунок 3 – График представления экспериментальных и теоретических данных