Переходные процессы

                                                 ЗАДАНИЕ

 

           1. Используя данные табл.1 и рис.1, необходимо:

           1.1. Определить классическим методом переходное значение тока через R₃ на этапах последовательного срабатывания коммутаторов К₁ и К₂;

          1.2. Определить операторным методом переходное значение той же, что и в пункте 1.1 электрической величины на первом интервале (сработал только коммутатор К₁);

          1.3. Сравнить результаты расчётов по пунктам 1.1 и 1.2 и оценить погрешности расчётов;

          1.4. Построить график зависимости найденного в пункте 1.1 значения тока в функции от времени;

          2. Используя исходные данные (табл.2), определить, в какой момент времени ток через обмотку электромагнита с параметрами L и R, включаемую на синусоидальное напряжение U_msin(314t+ψ), достигает максимального значения. Найти при этом его амплитуду и построить кривую этого переходного тока.

Расчётный параметр	E, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	L, мГн	C, мкФ
iR3	75	0,01	55	9	100	600

Таблица 1

Исходные данные к первой части курсовой работы

 

ψ, градус	Um, В	L, мГн	R, Ом
-45	127	120	8

Таблица 2

Исходные данные ко второй части курсовой работы

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Расчётная схема постоянного тока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………...………….. 24

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК  …………………………………..……. 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ          ПОСТОЯННОГО ТОКА

1. Определение классическим методом переходного значения тока    через резистор R₃ при срабатывании коммутатора К₁

 

Считая, что в цепи (рис.1) сработал только коммутатор К₁ , рассчитаем переходное значение тока через резистор R₃ . При расчёте классическим методом функция тока от времени i_R3(t) записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих

 

i_R3(t) = i_R3пр(t) + i_R3св(t),                                                                             (1.1)

 

где  i_R3пр(t)- принужденная составляющая тока, соответствующая установившемуся режиму работы схемы после коммутации;

i_R3св(t)- свободная составляющая тока, обусловленная наличием в схеме реактивных элементов.

Принужденную составляющую i_R3пр(t) находим по схеме замещения цепи ( рис. 1.1) для установившегося режима ( t = ∞)

 

i_R3пр(t)= E/(R₂ + R₃) = 75/(55 + 9) = 1,172 А.                                          (1.2)

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1. Схема замещения цепи для установившегося

режима ( t = ∞) на первом этапе

Для определения свободной  составляющей тока i_R3св(t) составим схему цепи после срабатывания коммутатора К₁ (рис.1.2). По этой схеме определим входное сопротивление Z(p), приравняем его к нулю и решим полученное характеристическое уравнение Z(p) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.2. Расчётная схема для составления характеристического

уравнения на первом этапе

 

Z(p) =R₁ + 1/Cp + R₂(R₃ + Lp)/(R₂ + R₃ + Lp) = 0;

CL(R₁ + R₂) p² + [C(R₁R₂ + R₁R₃ + R₂R₃) + L] p + R₂ +R₃ = 0;

600^.10^-6∙100^.10^-3∙(0,01 + 55)p² +[600^.10^-6 ∙(0,01∙55 + 0,01∙9 +55∙9)+       100^.10^-3]p + 55 + 9 = 0;

0,0033p² + 0,397p + 64 = 0;

p₁ = -60,152 + j125,606 с^-1,

p₂ = -60,152 - j125,606 с^-1.

 

Характеристическое уравнение имеет два комплексно–сопряжённых корня p₁ и p₂, поэтому свободная составляющая тока будет иметь вид затухающих синусоидальных колебаний:

 

i_R3св(t) = Ae^-αt sin(ω₀t + φ),                                                                        (1.3)

 

где α = 60,152 c^-1 – показатель затухания;

ω₀ = 125,606 рад/с – угловая частота свободных колебаний.

Подставим найденные значения принужденной (1.2) и свободной (1.3) составляющих в (1.1), получим

 

i_R3(t)= 1,172 + Ae^{-60,152 t} sin(125,606 t + φ).                                              (1.4)

 

Неизвестные значения постоянных интегрирования A и φ определим по значению тока i_R3(t) и его первой производной при t = 0, решая систему двух уравнений

 

i_R3(t)= 1,172 + Ae^{-60,152 t} sin(125,606 t + φ);         (1.5)

 

Так как  , а i_L(t) = i_R3(t) - как ток одной ветви, то   

 

.

 

i_R3(0) и u_L(0) находятся из схемы t = 0₊.

С учётом этого систему (1.5) при t = 0 запишем следующим образом

 

i_R3(0) = 1,172 + A sin φ;            (1.6)

.

 

Определим начальные условия. При разомкнутом коммутаторе К₁ в цепи (рис.1) тока нет, то есть i_R3(0_-) = i_L(0_-) = 0. С учётом первого закона коммутации i_L(0_-) = i_L(0₊) значение тока через резистор R₃ непосредственно после коммутации i_R3(0₊) = 0.

Значение u_L(0₊) является зависимым начальным условием, для нахождения его составим схему замещения для t = 0₊, заменяя L и C источниками тока J_KL = i_L(0_-) и ЭДС E_C = u_C(0_-) соответственно (рис.1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Рис. 1.3. Расчётная схема цепи для определения u_L(0₊)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.4. Расчётная схема  цепи для t = 0_-

Так как (рис. 1.4.) i_L(0_-) = 0 и u_C(0_-) = 0, то J_KL = 0 и E_C = 0. Из схемы замещения (рис.1.3) находим: u_L(0₊) = E = 75 В, подставим найденные начальные условия в систему (1.6)

 

0=1,172 + A sin φ ,

.

 

Решая эту систему уравнений, из первого уравнения . Подставляя это значение А во второе уравнение, получим

 

750 = -60,152∙(-1,172) ∙ + 125,606∙(-1,172)∙ ;

ctg φ = -4,616, φ = -0,213 рад;

= =5,535.

 

Подставляя найденные  значения постоянных интегрирования в (1.4), окончательно имеем искомое переходное значение тока через сопротивление R₃ после срабатывания коммутатора К₁

 

i_R3(t) = 1,172 + 5,535e^{-60,152 t} sin(125,606 t – 0,213) .                                (1.7) 

2. Определение классическим методом переходного значения тока    через резистор R₃ при срабатывании коммутатора К₂

 

Согласно указаниям [1] время, через которое срабатывает коммутатор К₂

t₁ = 1,5:α = 1,5: 60,152 = 0,02493683 с,

где α = 60,152 с^-1 – показатель затухания переходного процесса на первом интервале.

Закон изменения переходного тока в общем случае после срабатывания коммутатора К₂ записывается в виде (1.1). При этом время t отсчитывается от момента срабатывания ключа К₂.

 Принужденную составляющую на втором этапе определим из схемы замещения для установившегося режима (t = ∞), представленной на рис.1.5

i_R3пр(t) = = =8,333 А.           (1.8)

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.5. Схема замещения цепи для установившегося

режима ( t = ∞) на втором этапе

 

 

Для определения свободной  составляющей тока на втором этапе  найдём входное сопротивление Z(p) расчётной схемы, представленной на рис.1.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.6. Расчётная схема для составления характеристического уравнения на втором этапе

 

Z(p) = R₃ + Lp.

Решаем характеристическое уравнение Z(p) = 0

R₃ + Lp = 0,

p = - = - = - 90 c^-1_. 

 

Так как характеристическое уравнение имеет единственный корень, то свободная составляющая i_R3св(t) на втором этапе изменяется по апериодическому закону с коэффициентом затухания p = - 90 c^-1

 

i_R3св(t) = De^-90t,            (1.9)

 

где D – постоянная интегрирования.

Подставим найденное  значение принужденной (1.8) и свободной (1.9) составляющих переходного тока в (1.1), получим

 

 i_R3(t) = 8,333 + De^-90t .                                                                            (1.10)

 

Постоянную интегрирования D найдём из начальных условий. В начальный для второго интервала момент времени t=0

 

i_R3(0) = 8,333 + D,         (1.11)

 

где начальное значение тока для второго этапа i_R3(0) = i_L(0_-) = i_L(0₊) = i_R3(t₁) (рис.1.7).

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.7. Расчётная схема цепи для режима t=0₊

                на втором этапе 

 

Начальным моментом времени  для второго этапа будет являться время t₁ = 0,02493683 с. Подставим это значение t в (1.7), получим

 

i_R1(0) = 1,172 + 5,535e^{-60,152∙0,02493683} sin(125,606∙0,02493683 – 0,213) = 1,445 А.

 

Подставляя значение i_R1(0) = 1,445 А в (1.11), получим

 

1,445 = 8,333 + D,

D = -6,888.

 

Подставим это значение постояной интегрирования в (1.10).Закон изменения тока через резистор R₃ после срабатывания коммутатора К₂ имеет вид:

i_R3(t) = 8,333 – 6,888e^-90t А.

 

Полное выражение для искомого тока после последовательного срабатывания коммутаторов К₁ и К₂ записывается следующим образом:

 

i_R3(t) = 1(t)[1,172 + 5,535e^{-60,152 t} sin(125,606 t – 0,213)] –

-1(t - 0,02493683) [1,172 + 5,535e^{-60,152 t} sin(125,606 t – 0,213)] +

+1(t - 0,02493683)[ 8,333 – 6,888e^{-90(t - 0,02493683)}] ,

где 1(t) – единичная функция Хевисайда.

 

График зависимости  переходного тока через резистор R₃ в функции от времени представлен на рис.1.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Определение операторным методом переходного значения тока    через резистор R₃ при срабатывании коммутатора К₁

 

 

После срабатывания коммутатора К₁ i_L(0) = 0 и u_C(0) = 0, т.е. начальные условия цепи – нулевые, поэтому при составлении операторной схемы замещения индуктивность L замещаем только пассивным элементом Lp, а ёмкость C – пассивным элементом . Таким образом, для исходной цепи (рис.1) операторная схема замещения после срабатывания коммутатора К₁ будет выглядеть следующим образом (рис.1.9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.9. Операторная схема замещения цепи на первом этапе

 

По закону Ома в  операторной форме

 I_R3(p) = = ,

где Z(p) – операторное входное сопротивление между точками a и  b.

По схеме (рис.1.9)  Z(p) = R₃ + Lp + .

Таким образом изображение тока через резистор R₃:

I_R3(p) = = = =

= 750 .

 

Для перехода от изображения  к оригиналу тока преобразуем выражение I_R3(p) к табличному виду F(p) = :          

I_R3(p) = 750 = 750∙F(p) .                            (1.12)

По таблице 8.4 –2 преобразований Лапласа для рациональных изображений [2] соответствующий оригинал функции будет иметь вид:

 

f(t) = Ae^at sin(ω₁t + α) + K,                  (1.13)

 

где ω₁= = 125,601;

 K = = = 0,00156; a=-60,152; d=30,303;

A = = = 0,00738;

α =arctg -arctg =arctg -arctg = -0,213 рад.

 

Подставим значения найденных коэффициентов в (1.13):

 

f(t) = 0,00738e^-60,152t sin(125,601t – 0,213) + 0,00156.

 

 Переходя от изображения к оригиналу функции из(1.12), находим значение переходного тока через резистор R₃ после срабатывания  К₁:

i_R3(t) = 750∙f (t) = 750∙[0,00738e^-60б152t sin(125,601t – 0,213) + 0,00156] = 1,17 + 5,535e^-60,152t sin(125601t – 0,213).

 

                                                                                             

4. Сравнение результатов расчётов переходного значения i_R3(t)       классическим и операторным методами