Индексный метод анализа динамики среднего уровня (индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов)

    В связи с различными факторными изменениями  выручки в зависимости от места фактора в ее основной формуле, встает вопрос, какую же формулу выручки применять для анализа. Это зависит от конкретной экономической ситуации. Если увеличение выручки обеспечивается главным образом за счет роста количества проданного товара при более или менее стабильной цене, то товар считается первым фактором, а цена — вторым. Если же увеличение выручки достигается в основном повышением цен без увеличения и даже при снижении количества проданного товара, то цена считается первым фактором, а товар — вторым.

    Значит, очередность анализа по факторам вытекает из вида формулы сложного явления. Так, если материальные затраты  М на выпуск продукции определяются как произведение ее количества q, удельного расхода материала т и его цены р, то типологическая формула имеет вид

    М = qmp, (7)

    а трехфакторная мультипликативная  модель запишется как

    M₁=i_qi_mi_pM₀. (8)

    Следовательно, можно записать следующие формулы  факторных изменений материальных затрат

    Меняя факторы местами в основной формуле (8), можно получать другие факторные формулы. Но всегда общее изменение материальных затрат, равное сумме факторных изменений, будет одинаковым.

    Подобные  мультипликативные модели можно  формировать для неограниченного числа факторов.

4. Простые общие  индексы

 

    Индекс  становится общим, когда в основной формуле показывается неоднородность изучаемого явления. Например, анализируется  изменение выручки от продаж не одного, а всех или нескольких видов товаров. Тогда общий индекс количества проданных  товаров будет равен

     =  (9)

    Аналогично  по ценам  =  (10)

    Аналогично  по выручке  = =  (11)

    Однако  здесь двухфакторная мультипликативная  модель не может выглядеть как  в случае индивидуальных индексов, потому что произведение простых общих индексов количества товаров и цен не равно общему индексу выручки. То есть и убеждаемся в этом неравенстве, подставив значения общих индексов из формул (9) – (11).

    В самом деле:

    Как видим, в числителе и знаменателе  левой части произведения сумм, а  в числителе и знаменателе  правой части сумма произведений и они, конечно, не адекватны.

    Это вызвано тем, что записанные выше общие индексы простых явлений не отражают взаимосвязи между собой в сложном явлении и потому считаются не объективными. Поэтому они помечены штрихом и названы простыми общими индексами.

5. Агрегатные  общие индексы

 

    Объективность общим индексам придает их запись в агрегатном виде, предложенная Ласпейресом и Пааше.

    Агрегатный  общий индекс Ласпейреса для количества товаров как первого фактора  выручки определяется по формуле

     =  (12)

    Аналогично  можно записать агрегатный общий  индекс Ласпейреса для цен как  первого фактора выручки, то есть

     =  (13)

    В формулах Ласпейреса знаменатели по существу одинаковые, представляя собой выручку базисного периода, а числители разные. В формуле (12) это отчетная выручка в базисных ценах (количесгво товаров отчетное, а цены — базисные), в формуле (13) наоборот — базисная выручка в отчетных ценах (цены отчетные, а количество товаров — базисное).

    Агрегатные  общие индексы Пааше применяются  ко вторым факторам мультипликативных моделей. Поэтому такой индекс для цен как второго фактора выручки определяется по формуле

     =  (14)

    Аналогично  можно записать агрегатный общий  индекс Пааше для количества товаров  как второго фактора выручки, то есть

     =  (15)

    В формулах Пааше числители по существу одинаковые, представляя собой выручку  отчетного периода, а знаменатели  аналогичны числителям формул Ласпейреса.

    Для облегчения запоминания студентами формул Ласпейреса и Пааше предлагаю  обратить внимание на букву «ш» в  слове «Пааше», которая напоминает «111» - так обозначены отчетные периоды  в общей формуле (две единицы  – в числителе, а одна – в  знаменателе). В формуле же Ласпейреса – три нуля (наоборот к формуле  Пааше).

    Произведения  количественного индекса Ласпейреса и ценового индекса Пааше, а также ценового индекса Ласпейреса и количественного индекса Пааше дают общий индекс выручки

     . (16)

    Однако  вид этих формул показывает, что  однофакторные индексы Ласпейреса и Пааше не равны между собой. То есть не равными являются количественные индексы Ласпейреса и Пааше и ценовые. Американский экономист Гершенкрон обширными расчетами установил, что по одному и тому же фактору индекс Ласпейреса обычно больше индекса Пааше и это открытие названо эффектом Гершенкрона.

    Но  в статистике должно быть одно значение индекса, поэтому американский экономист Фишер предложил применять среднюю геометрическую величину из индексов Ласпейреса и Пааше, определяя ее по формулам:

    для количества товаров  =  (17)

    для цен =  (18)

6. Общие индексы  как средние из индивидуальных

 

    Помимо  записи общих индексов в агрегатном виде, на практике часто используют формулы их расчета как величин, средних из соответствующих индивидуальных индексов.

    Используя их формулы, можем записывать, что  q₁ = q₀i_q и p₁ = p₀i_p, а также, что q₀ =q₁/i_q и р₀=р₁/i_p. Подставив отчетные значения количества товара и цены в формулу общего индекса выручки, получим

    I_Q= = = . (19)

    Значит, общий индекс выручки можно определять только через ее базисные значения с умножением в числителе на индивидуальный индекс выручки по конкретному товару.

    Теперь  подставим базисные значения количества товара и цены в формулу общего индекса выручки. Тогда получим

    I_Q = . (20)

    Значит, общий индекс выручки можно определять только через ее отчетные значения с делением в знаменателе на индивидуальный индекс выручки по конкретному товару.

    Аналогично  через индивидуальные индексы количества товара и цены можно выразить агрегатные общие индексы Ласпейреса и Пааше.

7. Индекс  структурных сдвигов

 

    Выше  изложенные общие индексы применимы  к изучению явлений, образованных как  разными, так и однородными процессами. В последнем случае динамику итога можно показать через простые общие индексы отдельных факторов.

    Для доказательства в формуле количественного  индекса Ласпейреса числитель умножим  и разделим на , а знаменатель – на . Тогда будем иметь

     = = = , (21)

    где = - простой общий индекс количества товаров;

     = – доля или удельный вес конкретного товара в общем количестве;

     = - агрегатный общий индекс структуры, доли или удельного веса, часто называемый индексом структурных сдвигов.

    Следовательно, количественный индекс Ласпейреса равняется  произведению простого общего индекса количества товаров и индекса структурных сдвигов. То есть

     = , (22)

    откуда  для определения индекса структурных  сдвигов получается довольно простая формула

     = / . (23)

    Используя формулу (22) в двухфакторной модели общего индекса выручки, получим его трехфакторную мультипликативную модель вида

    I_Q = = . (24)

    Трехфакторная модель возможна к широкому применению в экономическом анализе для установления количественного влияния каждого фактора на вариацию сложного явления.

8. Факторный анализ общей и частной выручки

 

    Приравнивая правую часть полученной трехфакторной  модели и среднюю часть формулы (24), записываем выражение

     = ,

    из  которого заключаем, что общую выручку  отчетного периода можно определить через общую выручку базисного  периода и общие индексы по мультипликативной формуле

     = . (25)

    Эта формула в точности соответствует  мультипликативной модели (8), что позволяет применять соответствующие формулы факторных изменений. Так, изменение общей выручки за счет изменения общего количества товаров определится по формуле

     = . (26)

    Изменение общей выручки за счет изменения  долей конкретных товаров (структурных сдвигов) определяется по формуле

     = . (27)

    И наконец изменение общей выручки  за счет изменения цен определяется по формуле

     = . (28)

    Естественно, сумма факторных изменений должна равняться общему итоговому изменению. То есть для контроля правильности анализа проверяется выполнение условия

     = - = + + . (29)

    Факторный анализ изменения выручки по отдельному товару в составе общего товарооборота ведется на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели

     = , (30)

    где = — индивидуальный индекс доли конкретного товара.

    Следовательно, изменения выручки по конкретному  товару за счет изменения каждого  фактора могут определяться по формулам:

    за  счет изменения общего количества товаров (товарооборота)

     = ; (31)

    за  счет изменения доли конкретного  товара

     = ; (32)

    за  счет изменения цены конкретного  товара

     = . (33)

    Естественно, факторные изменения выручки  по конкретному товару в сумме  должны равняться полному изменению  выручки по этому товару. То есть для контроля правильности анализа проверяется выполнение условия

     = - = + + . (34)

    где j — признак конкретного товара.

    Кроме того, полные изменения выручки по каждому товару в сумме должны равняться общему изменению выручки  по всему товарообороту. То есть для контроля правильности анализа дополнительно проверяется выполнение условия = . При этом для облегчения необходимого контроля результаты факторного анализа представляются в виде факторной таблицы, рассмотренной ниже в методических указаниях по теме.