Контрольная работа по "Теории вероятностей и математической статистике"

Раздел I

4. Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на карточках и тщательно перемешаны. Случайным образом эти карточки разложены в ряд. Какова вероятность того, что получим четное число?

Решение:

Вероятность оказаться на последнем месте какой-либо конкретной цифры 1/5.

Всего в наборе две четных цифры 2 и 4. Вероятность собрать четное число будет 2/5.

Раздел II

5. В урне а белых и b черных шаров. 2 игрока последовательно достают по одному пару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Найдите вероятность того, что первым достанет белый шар игрок, начинающий игру.

Решение:

Вероятность взять белый шар для первого игрока составит

Если при первом ходе первый игрок взял черный шар, то для второго игрока вероятность взять белый шар составит

Допустим, что второй игрок тоже взял черный шар. Тогда первый игрок  делает второй ход и вероятность взять белый шар составит

Если во второй ход первый игрок выбрал снова черный шар, то вероятность взять белый шар для второго игрока  составит

Можно записать в общем виде вероятность для i-го хода первого игрока взять белый шар

P=

Сумма всех вероятностей такого вида и дает вероятность того, что  первым достанет белый шар игрок, начинающий игру

Раздел III

6. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов и 2 – 15 вопросов. Вызванный студент ответил на поставленный вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент

а) подготовил все вопросы;

б) подготовил только половину вопросов.

Решение:

Р(D) = 30+25+20+15 = 90.

а) Р(1) = 30/90 = 0,33

б)Р(4) =15/90 = 0,17

Если бы не ответил, то 5+10+15=30, Р(1)=0 Р(4)=15/30.

Раздел IV

7. Вероятность появления события А в каждом из 1500 независимых испытаний равна р = 0,4. Найдите вероятность того, что число появлений события А заключено между:

а) 570 и 630;

б) 600 и 660.

Решение:

Так как npq = 1500 × 0,4 × 0,2 = 120 > 10, то воспользуемся формулой.

а) ; j(-2,7) » 0,0104;

; j(2,7) » 0,0104;

Ф(-2,7) = - Ф(2,7) » - 0,0104; Ф(2,7) » 0,0104;

Р1500 (570 £ k £ 630) » 0,0104 + 0,0104 = 0,0208.

а) ; j(0) » 0,3989;

; j(5,5) » 0,5;

Ф(0) » 0,3989; Ф(5,5) » 0,5;

Р1500 (600 £ k £ 660) » 0,3989 + 0,5 = 0,8989.

Раздел V

8. Цепь Маркова управляется матрицей

а) Убедитесь в применимости теоремы Маркова к этой цепи.

б) Найдите предельные вероятности.

Решение:

Вычислим

Так как все элементы Р2 строго положительны, то условие теоремы Маркова о предельных вероятностях выполняется. Следовательно, предельные вероятности существуют

Для нахождения предельных вероятностей  решим систему

р1+р2+р3=1                                  

р1 =  0р1+1р2+0р3                                  р1 =  1р2

р2 =  0,25р1+0,5р2+0,25р3                                                         р1 = р3

р3 = 0р1+1р2+0р3                                    р3 = 1р2

Раздел VI

9. В результате испытания двух приборов (А и В) установлена вероятность появления помех, оцениваемых по трехбалльной системе (см. таблицу) (в случае отсутствия помех их уровень принимается равным нулю).

По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.

Решение:

Для прибора А:

М(x)=1*0,20+2*0,06+3*0,04=0,44

Для прибора Б:

М(х)=1*0,06+2*0,04+3*0,1=0,44

Прибор А и Б имеют равное количество помех, поэтому они одинаковые.

Раздел VII

10. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение:

Математическое ожидание найдем по формуле

Подставим значения в формулу

Найдем дисперсию

Раздел VIII

11. Распределение периода времени в 70 лет по числу рождений четверых близнецов:

По опытным данным:

а) установить гипотетический закон распределения случайной величины;

б) найти его параметры;

в) вычислить гипотетические частоты;

г) пользуясь критерием согласия χ2, установить, согласуются ли опытные данные с предположением о распределении случайной величины по избранному гипотетическому закону.

Уровень значимости принять равным *) 0,05 и **) 0,005.

Решение:

Найдем частоты и построим гистограмму

Из вида гистограммы можно предположить нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид

где

а –  математическое ожидание

среднеквадратическое отклонение X