Множинна кореляція

 

Вступ

Множинна кореляція —  метод кореляційного аналізу  для вимірювання кореляційного  зв'язку одночасно між двома, трьома і більше кореляційними ознаками.

Обчислення часткових  коефіцієнтів кореляції часто зумовлюється практичною необхідністю. Часто доводиться вивчати явища, які складаються  під впливом не одного, а багатьох різних факторів, кожний з яких окремо може не справляти вирішального впливу. Сукупний же вплив факторів інколи виявляється достатньо сильним, щоб по їх змінах можна було робити висновки про величини показника досліджуваного явища. Методи вимірювання кореляційного зв'язку одночасно між двома, трьома і більше кореляційними ознаками створюють вчення про множинну кореляцію (питання множинної кореляції вперше досліджувались англійським вченим Ф.А.Еджвортом у кінці XIX ст.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Множинна кореляція

 

На практиці економічного аналізу часто доводиться вивчати явища, які складаються під впливом не одного, а багатьох різних факторів, кожний з яких окремо може не справляти вирішального впливу. Наприклад, при обчисленні коефіцієнта парної кореляції між урожайністю та кількістю опадів, можна зробити неправильний висновок про зв'язок між цими ознаками, оскільки може спостерігатися помітна кореляція між кількістю опадів і температурою повітря, а остання сама по собі впливає на урожайність. Тому для правильного уявлення про вплив на урожайність саме бажаного фактора (кількості опадів) треба визначити кореляцію між урожайністю і кількістю опадів при однакових значеннях середньої температури повітря. Сукупний же вплив факторів інколи виявляється достатньо сильним, щоб по їх змінах можна було робити висновки про величини показника досліджуваного явища. Методи вимірювання кореляційного зв'язку одночасно між двома, трьома і більше кореляційними ознаками створюють вчення про множинну кореляцію (питання множинної кореляції вперше досліджувались англійським вченим Ф.А.Еджвортом у кінці XIX ст.) [3, ст. 50-53].

У моделях множинної кореляції залежна змінна "У" розглядається як функція кількох (у загальному випадку п) незалежних змінних "х".

Припущення про наявність  лінійного зв'язку рівняння множинної регресії може бути показано в такому вигляді:

У*,*, = оі0 + а1х1 + ос2х2 + а3х3 +... + сспхп

Із геометричної точки  зору це рівняння визначає у просторі площини відповідних змінних Х1,X2,Xз,...,х" і у.

Множинне кореляційне  рівняння встановлює зв'язок між досліджуваними ознаками і дозволяє вирахувати очікувані  значення результативної ознаки під  впливом включених в аналіз ознак - факторів, зв'язаних даним рівнянням [6,ст.70-71] .

 

2. Коефіцієнт множинної кореляції

 

Для оцінки ступеня тісноти  зв'язку між результативною і факторними ознаками обчислюють коефіцієнт множинної  кореляції. Величина його завжди додатне число, яке знаходиться в межах від 0 до 1.

У множинних кореляційно-регресійних  моделях коефіцієнт простої кореляції  між результативною ознакою і факторними, а також між самими факторними ознаками розраховують за формулами:

парні –

ух' у х2 х1 Х2

гух1 - гух2 ■ гх1 х2 гух2 - гух1 ■ гх1 х2

гух1 ■ х2 = і = і 2 ; Гух2 ' х1 = І = І 2 ;

часткові –

л'1 ~ г Ух^1 ~ г х1 х2 V1 - г ух^1 - г х1 х2

Множинні (для двофакторної моделі):

Кууа =уі 1 -(1 - г2>'л1)(1 - г2ух2 ■ х1)

Оцінку вірогідності множинного коефіцієнта кореляції (так як і  кореляційного рівняння в цілому) одержують шляхом розрахунку Б -критерію :

^р Р -1 п – Р

де Р- кількість параметрів кореляційного рівняння.

Розрахункові значення Б - критерію зіставляють з табличними. Якщо одержана величина Б - критерію більше його табличного значення, коефіцієнт кореляції визнається вірогідним. Аналогічний висновок робиться по інших загальних характеристиках кореляційної моделі, таким як параметри рівняння, коефіцієнти детермінації та ін [ст, 45-50].

Коефіцієнт множинної  кореляції (конкордації)

 

 

 

 m- Число груп, які ранжуються.

n- Число змінних.

R_ij- Ранг i-го фактора у j-й одиниці.

Для перевірки значущості часткових коефіцієнтів кореляції можна застосовувати ті критерії згоди, що й для коефіцієнтів парної кореляції. Якщо треба з'ясувати міру лінійної кореляції між якою-небудь ознакою та рештою факторів, то обчислюють загальний коефіцієнт множинної кореляції. Його значущість оцінюється за - критерієм, так як і для кореляційного відношення:

 

 

Якщо, то гіпотеза про відсутність зв'язку відкидається.

У разі наявності пов'язаних рангів:

 

 

 

Властивості коефіцієнта кореляції:

 

○ Нерівність Коші - Буняковського :

якщо взяти в якості скалярного добутку двох випадкових величин коваріацію , то норма випадкової величини буде дорівнювати , і наслідком нерівності Коші - Буняковського буде:

 

○ Коефіцієнт кореляції дорівнює   тоді і тільки тоді, коли X і Y лінійно залежні (виключаючи події нульової ймовірності, коли кілька точок "вибиваються" з прямої, що відбиває лінійну залежність випадкових величин):

де  . Більш того в цьому випадку знаки   і збігаються.

 

 ○Якщо X, Y незалежні випадкові величини, то . Зворотне в загальному випадку невірно [4, ст. 92-93].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Область застосування

 

Даний метод обробки статистичних даних дуже популярний в економіці  і соціальних науках (зокрема в психології і соціології), хоча сфера застосування коефіцієнтів кореляції обширна: контроль якості промислової продукції, металознавство, агрохімія, гідробіологія, біометрія та інші. У різних прикладних галузях прийняті різні межі інтервалів для оцінки тісноти й значущості зв'язку. Популярність методу обумовлена двома моментами: коефіцієнти кореляції відносно прості в підрахунку, їх застосування не вимагає спеціальної математичної підготовки. У поєднанні з простотою інтерпретації, простота застосування коефіцієнта привела до його широкого поширення в сфері аналізу статистичних даних [1, ст.130].

Говорячи про природу  кореляційно - регресійного методу, потрібно пам'ятати, що кореляційні розрахунки є чисто математичним прийомом, що зовсім не виявляють фізичну картину взаємозв'язків. Одержана на основі цього прийому числова оцінка зв'язків і залежностей інколи виявляється формальною, що показує лише поверхню явищ. Незнання цієї особливості методу веде за собою неправильне користування ним. Якщо до цього ж порушуються правила формування статистичних сукупностей, то дослідник потрапляє в полон логічних помилок, викликаних несправжньою кореляцією. На жаль, до цього часу завершеної теорії несправжньої кореляції не створено, незважаючи на те, що вона невід'ємна від природи кореляційного аналізу.

Кореляція в її формально - статистичному розумінні не розкриває причин зв'язку, а констатує лише його наявність, даючи оцінку сили і тісноти, встановлює ступінь вірогідності міркувань про наявність такого. Разом з регресійним кореляційний аналіз вирішує такі завдання: оцінка сили зв'язку і її кількісне вимірювання, визначення форми зв'язку і реальності його існування. При вивченні економічних явищ дослідник, керуючись правилами кореляційно - регресійного аналізу, насамперед повинен виходити з економічного змісту досліджуваних залежностей. Лише після цього може бути встановлений їх причинно - наслідковий характер. Одержані результати розрахунків поширюються лише на ті об'єкти, кількісні характеристики яких включені в розрахунки. Звідси кореляційний аналіз повинен задовольняти вимогам об'єктивності на противагу формально - логічному підходу.

Приймаючи на озброєння методи кореляцій і регресій, необхідно  обмежити дослідження від внесення в них викривлень, породжених суб'єктивною природою методів. Нерозуміння або недооцінка її, як правило, призводить до необґрунтованості висновків, суб'єктивізму в рішеннях, помилок в підборі одиниць спостережень і планування дослідження, а також до того, що досліджуваний зв'язок ставиться в залежність від обставин, що не мають до нього об'єктивного відношення [2, ст 32-35].

Застосування теорії кореляції  вимагає знання, насамперед, природи  показників тісноти зв'язку.

У спеціальній літературі по теоретичній математиці про можливості трактування коефіцієнта кореляції  як міри тісноти зв'язку говориться з обережністю. В економічній же літературі цього не спостерігається. Хоча майже всі автори - економісти повторюють слова математиків з теорії ймовірностей про необхідність обережного трактування величин коефіцієнтів кореляції, вони практично ігнорують це положення. Дійсно, в теорії імовірності коефіцієнт кореляції вводиться як параметр, дійсність величини якого вказує на наявність стохастичного зв'язку, але не визначає міри причинного зв'язку. Так, А. Хальд писав: "Визначивши коефіцієнт кореляції і перевіривши потім гіпотезу про нульову кореляцію, можна інколи довести існування стохастичного зв'язку між змінними. Проте необхідно підкреслити, що стохастична залежність не вказує з необхідністю на наявність функціонального зв'язку. Коефіцієнт кореляції хоч і може вказувати на стохастичний зв'язок між х1 і х2, але при допомозі його не можна визначити, чи є велична х1 причинно обумовленою величиною х2, або х2 - величиною х1 , або ж їх зв'язок пояснюється тим, що обидві вони причинно зумовлені іншими факторами. Таким чином, і при значному коефіцієнті кореляції для визначення функціонального зв'язку потрібне додаткове дослідження. При подальшому дослідженні, яке передусім повинно ґрунтуватися на знанні особливості проблеми, регресійний аналіз часто грає важливу роль як засіб перевірки зроблених гіпотез".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновок

Множинна кореляція виникає  від взаємодії декількох факторів з результативним показником. Основна задача факторного аналізу — визначити міру впливу кожного фактора на рівень результативного показника. Для цієї мети використовуються способи кореляційного, дисперсійного, сучасного ба-гатомірного факторного аналізу й інші.

Найширше використовуються в економічних дослідженнях прийоми кореляційного аналізу, які дозволяють кількісно виразити взаємозв’язок між показниками.

Використання кореляційного аналізу дозволить розв’язати такі задачі:

♦    визначити зміну результативного показника під впли-вом одного чи декількох факторів (в абсолютному вимірі);

♦ встановити відносний ступінь залежності результатив-ного показника від кожного фактора.

Дослідження кореляційних співвідношень має велике значення в економічному аналізі. Це проявляється в тому, що значно поглиблюється факторний аналіз, визначається місцета роль кожного фактора у формуванні рівня показників, що досліджується.

Однією з основних задач  кореляційного аналізу є визначення впливу факторів на величину результативного показника. Для розв’язання цієї задачі підбирається відповідний тип математичного рівняння, яке найкраще відбиває характер зв’язку (прямолінійний, криволінійний). Це відіграє важливу роль у кореляційному аналізі, бо від правильного вибору рівняння регресії залежить хід рішення задачі та результати розрахунків.

 

 

 

 

 

 

Література

 

1. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. – К. : Вища школа, 1993.
2. Б. Болч, К. Дж. Хуань. Многомерные статистические методы для экономики. М. : Статистика, 1970.
3. Лисенко А.Н. Математические методы планирования многофакторных медико-биологических экспериментов. – М. : Медицина, 1979. – 343 с.
4. Марець О.Р., Маковський С.О. Теорія статистики./ Навч.посіб.- К.: «Знання», 2009.- 534с.
5. Опря А.Т. Статистика. Математична статистика. Теорія статистики. Навч. Посіб. – К.: ЦУЛ, 2005.
6. Уманець Т.В. Загальна теорія статистики . К.: «Знання», 2006.-239с.