Особенности математической статистики

Московский  Государственный Университет Путей  Сообщения (МИИТ)

Институт Транспортной Техники и Организации Производства

 

Кафедра «Высшая математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по дисциплине: 
«Основы математической статистики» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                         Выполнила:                 

          ст. гр. ТСС-211

          Михина А.А.

          Проверил:

          доцент кафедры                         

         «Высшая математика»

          Аверинцев М.Б 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2011.

 

Теоретическая часть

Особенности математической статистики.

Слово «Статистика» происходит от латинского «status»- состояние, государство.

Первоначально статистика использовалась только в государственных  целях.

Статистика определяется как собранные и классифицированные данные и сведения, а также как наука, изучающая методы сбора и обработки числовых данных, относящихся к человеческой деятельности и природным явлениям.

Результаты обработки  числовых данных статистическими методами характеризуют случайные массовые явления в среднем. Поэтому математическую статистику можно назвать наукой об упорядочении и осреднении экспериментальных данных.

Математической статистикой  называется наука, разрабатывающая  методы регистрации, описания и анализа  данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.

Основными задачами математической статистики являются:

1)приближенное определение вероятности  события по относительной частоте

                                        P(a)=

2)нахождение приближенного закона распределения случайной величины;

3)оценивание числовых характеристик  случайных величин или параметров  их распределения  по данным  опыта;

4)проверка статистических гипотез;

5)определение эмпирической зависимости между переменными, описывающими случайные явления на основе экспериментальных данных.

Метод моментов.

Метод моментов заключается  в следующем: любой момент случайной  величины (например, -й) зависит, часто функционально, от параметра . Но тогда и параметр может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра оценку .   Пусть , , — выборка объема из параметрического семейства распределений , где . Выберем некоторую функцию так, чтобы существовал момент

(3)

и функция  была обратима в области . Тогда в качестве оценки для возьмем решение уравнения

  

Или (что то же самое), сначала решаем уравнение (3) относительно , а затем вместо истинного момента берем выборочный:

Чаще всего в качестве функции  берут . В этом случае

и, если функция  обратима в области , то

Можно сказать, что мы берем в  качестве оценки такое (случайное) значение параметра , при котором истинный момент совпадает с выборочным. Впервые такое понятие как Метод моментов ввел в 1900 году К.Персон.

Пример.

Пусть , , — выборка объема из равномерного на отрезке распределения , где . Найдем оценку метода моментов (ОММ) по первому моменту:

Найдем оценку метода моментов (ОММ) по -му моменту:

тогда

(4)

Пример.

Пусть , , — выборка объема из распределения Пуассона  с неизвестным параметром . Введем новый параметр

и найдем оценку метода моментов для  с помощью функции :

Заметим, что оценку для параметра  с помощью функции найти нельзя: функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, обратимой по в области . Оценку для параметра разумно находить по первому моменту: , и — оценка метода моментов.

Замечание.

Может случиться так, что  , тогда как . В этом случае оценку корректируют. Например, в качестве ОММ берут ближайшую к  точку из или из замыкания .

Пример.

Пусть , , — выборка объема из нормального распределения  с неотрицательным средним . Ищем оценку для по первому моменту:

Однако по условию  , тогда как может быть и отрицательно. Если , то в качестве оценки для более подойдет 0. Если же , в качестве оценки нужно брать . Итого: — «исправленная» оценка метода моментов.

 

 

Практическая  часть.

1. Находим значения случайных чисел R₁ =СЛЧИС и R₂ =СЛЧИС.
2. Находим значения случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение KS₁ = *COS(2*π* R₂ )и

KS₂ = *SIN(2*π* R₂ )

3. Вычисляем по заданным формулам значения двумерной случайной величины (X, Y)   X=A*KS1+B*KS2+K1, Y=C*KS1+D1*KS2+K2

 

R1	R2	KS1	KS2	Х	У
0,111	0,146	1,273	1,943	12,646	22,201
0,845	0,464	-0,564	0,487	2,766	9,791
0,915	0,869	0,286	0,516	5,406	11,666
0,942	0,316	-0,139	-1,163	-0,906	0,744
0,302	0,083	1,343	1,869	12,635	21,898
0,598	0,785	0,219	0,683	5,706	12,535
0,261	0,139	1,054	0,654	8,125	14,033
0,788	0,863	0,449	0,170	4,859	9,921
0,453	0,035	1,228	2,562	14,370	25,826
0,991	0,247	0,003	0,029	3,095	8,178
0,046	0,104	1,976	-0,337	7,915	9,927
0,043	0,162	1,317	1,743	12,182	21,094
0,508	0,295	-0,321	-1,411	-2,196	-1,108
0,215	0,065	1,607	-1,444	3,489	2,549
0,382	0,128	0,960	-0,508	4,357	6,874
0,035	0,787	0,589	-0,365	3,670	6,986
0,509	0,830	0,557	-0,213	4,031	7,834
0,998	0,539	-0,060	-0,411	1,587	5,416
0,943	0,232	0,040	0,427	4,400	10,640
0,232	0,549	-1,629	0,791	0,484	9,486
0,008	0,333	-1,552	0,469	-0,248	7,711
0,636	0,962	0,923	-0,131	5,377	9,062
0,341	0,339	-0,777	1,451	5,024	15,153
0,497	0,242	0,061	0,631	5,078	11,910
0,214	0,566	-1,610	0,676	0,199	8,838
0,659	0,195	0,310	1,682	8,977	18,714
0,944	0,533	-0,332	-0,978	-0,928	1,470
0,389	0,221	0,247	1,737	8,952	18,914
0,169	0,712	-0,449	-0,262	0,868	5,531
0,021	0,277	-0,460	-0,400	0,420	4,681
0,503	0,098	0,957	-0,576	4,144	6,458
0,891	0,120	0,350	1,666	9,049	18,699
0,064	0,508	-2,344	-0,970	-6,943	-2,508
0,346	0,992	1,455	0,036	7,474	11,127
0,501	0,209	0,302	1,676	8,935	18,660
0,874	0,858	0,325	0,494	5,455	11,612
0,566	0,220	0,201	1,657	8,573	18,343
0,289	0,653	-0,901	0,538	1,911	9,428
0,499	0,422	-1,040	-0,324	-1,091	3,979
0,208	0,567	-1,619	0,721	0,306	9,088
0,532	0,217	0,230	1,733	8,891	18,861
0,108	0,381	-1,540	0,340	-0,599	6,962
0,791	0,151	0,401	1,141	7,624	15,646
0,930	0,286	-0,084	-0,794	0,366	3,066
0,289	0,581	-1,375	-0,737	-3,339	0,824
0,853	0,053	0,533	-0,492	3,121	6,111
0,348	0,397	-1,157	-1,132	-3,868	-1,108
0,099	0,556	-2,021	-0,138	-3,479	3,127
0,828	0,113	0,465	0,452	5,753	11,644
0,158	0,620	-1,401	-0,575	-2,926	1,750
0,236	0,459	-1,641	0,963	0,965	10,494
0,101	0,254	-0,049	-0,501	1,351	4,897
0,130	0,448	-1,914	0,659	-0,763	8,129
0,370	0,044	1,357	1,967	12,972	22,518
0,473	0,002	1,224	3,460	17,052	31,209
0,172	0,483	-1,864	0,913	0,144	9,746
0,279	0,806	0,546	-0,188	4,076	7,967
0,366	0,859	0,893	-0,346	4,640	7,709
0,759	0,462	-0,721	1,221	4,502	13,887
0,371	0,781	0,272	0,696	5,904	12,720

 

4. Строим  выборочные функции распределения и гистограммы случайных величин X и Y- параметров качества.         

 Выборочная функция распределения в математической статистике- это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него. Мы берем значения Х и У и записываем их в порядке возрастания, с помощью Редактирования на панели МЕНЮ, выбираем Сортировка и фильтр (упорядочивание данных с целью упрощения их анализа)пользуемся сортировкой от минимального к максимальному затем нам необходимо выписать сколько  мы получили значений от минимального  до максимального. 

Гистограмма в математической статистике- это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него. Чтобы построить гистограммы мы на панели МЕНЮ выбираем Вставка, затем Гистограмма и вставляем количество  значений для Х и для У полученных с помощью сортировки от минимального к максимальному.

 

 

4,042	10,325	3,858	5,396	24,24704798	49,4504954
сред.знач. Х и У		сред.откл Х и У		дисперсия Х и У

 

 

 

 

Массив  по Х	Массив  по У
-6,94281	-2,508264485
-3,86836	-1,107932082
-3,47912	-1,107822572
-3,33876	0,743853114
-2,92614	0,824279209
-2,19597	1,470188789
-1,09105	1,750285408
-0,92844	2,549259056
-0,90624	3,066280783
-0,76323	3,127347906
-0,59927	3,978500815
-0,24846	4,681411039
0,144235	4,896859321
0,199065	5,415612503
0,30585	5,531029177
0,365759	6,111230861
0,42044	6,458450326
0,484155	6,8736166
0,868026	6,962077642
0,965284	6,985919314
1,350577	7,708776284
1,587376	7,711168703
1,911276	7,833771784
2,766323	7,966730375
3,09458	8,128823586
3,121202	8,17819909
3,488511	8,838491625
3,67044	9,062302012
4,031119	9,088293958
4,076151	9,427657265
4,144075	9,485540245
4,357158	9,746321591
4,400476	9,790601669
4,501559	9,921330817
4,639511	9,926701623
4,85938	10,49444359
5,02368	10,64038394
5,077514	11,12737174
5,376984	11,61156936
5,405638	11,6437597
5,454982	11,66597351
5,706122	11,91037697
5,752842	12,53469409
5,903524	12,72021217
7,474159	13,88670952
7,623811	14,03340328
7,914708	15,15345645
8,124568	15,64559103
8,572695	18,34276277
8,890515	18,66005371
8,934722	18,69865191
8,95212	18,71370292
8,976707	18,8608477
9,049317	18,91445881
12,18156	21,09384138
12,63479	21,89837906
12,64554	22,20105
12,97209	22,51766927
14,36958	25,82649181
17,05216	31,20905071

 

 

 

 

Ширина интервала
4
первый интервал	кол-во чисел  в 1-ом интервале
-2,94281	16
второй интевал	кол-во чисел  в 2-ом интервале
1,05719	17
третий интервал	кол-во чисел  в 3-ем интервале
5,05719	17
четвертый интервал	кол-во чисел  в 4-ом интервале
9,05719	4
пятый интервал	кол-во чисел  в 5-ом интервале
13,05719	2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

 

 

 

 

 

 

первый интервал	кол-во чисел  в 1-ом интервале
-2,50826	9
второй интевал	кол-во чисел  в 2-ом интервале
3,111288	18
третий интервал	кол-во чисел  в 3-ем интервале
8,730841	20
четвертый интервал	кол-во чисел в 4-ом интервале
14,35039	8
пятый интервал	кол-во чисел  в 5-ом интервале
25,5895	2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

           

              

 

 

 

             

 

              

 

5.  Находим нормальное распределение величин X и Y.

норм.распр. для       х(1)	норм.распр.для  х(0)	норм.распр.для  у(1)	норм.распр.для  у(0)
0,020	0,002	0,009	0,004
0,025	0,002	0,011	0,005
0,031	0,003	0,014	0,007
0,038	0,005	0,018	0,008
0,047	0,007	0,022	0,010
0,057	0,009	0,028	0,012
0,068	0,012	0,034	0,014
0,081	0,015	0,042	0,017
0,096	0,020	0,051	0,019
0,113	0,025	0,061	0,022
0,131	0,030	0,073	0,026
0,152	0,037	0,087	0,029
0,175	0,044	0,103	0,033
0,200	0,052	0,121	0,037
0,227	0,060	0,140	0,041
0,256	0,068	0,162	0,045
0,286	0,076	0,186	0,050
0,319	0,083	0,211	0,054
0,353	0,090	0,239	0,058
0,388	0,095	0,269	0,061
0,423	0,100	0,300	0,064
0,460	0,102	0,333	0,067
0,497	0,103	0,368	0,070
0,534	0,103	0,403	0,072
0,570	0,100	0,439	0,073
0,606	0,096	0,476	0,074
0,642	0,091	0,513	0,074
0,676	0,084	0,550	0,073
0,708	0,077	0,586	0,072
0,739	0,069	0,622	0,070
0,768	0,061	0,657	0,068
0,796	0,053	0,690	0,065
0,821	0,045	0,722	0,062
0,844	0,038	0,752	0,059
0,865	0,031	0,780	0,055
0,884	0,025	0,807	0,051
0,901	0,020	0,831	0,047
0,917	0,016	0,854	0,043
	0,012	0,874	0,038
	0,009		0,034
	0,007		0,031
	0,005		0,027
	0,004
	0,003
	0,002
	0,001
	0,001