Показатели симметрии, асимметрии и эксцесса

Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна нулю):

Применение этого показателя дает возможность не только определить степень асимметрии, но и ответить на вопрос о наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности. Оценка степени существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки, которая зависит от объема наблюдений и рассчитывается по формуле:

Если отношение , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если отношение , асимметрия несущественна, ее наличие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Линдбергом предложен следующий показатель для оценки эксцесса:

Ех = П – 38,29,

где П – доля (%) количества вариантов, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения в ту и другую сторону от средней арифметической.

Наиболее точным является показатель, основанный на использовании центрального момента четвертого порядка:

Эксцесс представляет сбой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении отношение

Задача 1

В целях изучения проблем молодых семей в городе намечено провести выборочное наблюдение. Определить перечень вопросов, которые, по Вашему мнению, можно было бы включить в анкету обследования.

Решение:

В анкету обследования могут быть включены следующие вопросы:

1. Возраст семьи (длительность совместного проживания).

2. Количество детей в семье.

3. Уровень дохода на одного члена семьи.

4. Жилищно-бытовые условия (наличие собственной квартиры).

5. Особенности распределения домашних обязанностей.

6. Уровень образования супругов.

7. Сфера деятельности супругов.

Задача 2

Кожевенно-обувное предприятие в целях оптимизации плана выпуска женской обуви провело обследование 50 женщин, отобранных случайным  образом. В результате получены следующие данные о размере обуви обследованных женщин:

Постройте ряд распределения женщин по размеру обуви.

Решение:

В соответствии с имеющимися данными рассчитан удельный вес женщин с тем или иным размером обуви. На рис. 1 этот ряд распределения представлен кривой распределения.

Рис. 1. Кривая распределения женщин по размеру обуви

По данному рисунку видно, что наиболее часто встречаемым является размер обуви 37 (46 %), на втором месте – 36 и 38 размеры (по 20 %).

Задача 3

Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определите урожай на 10 кустах винограда:

Исчислите общую, межгрупповую и среднюю из групповых (частных) дисперсий. Определите связь между сортом и его урожайностью.

Решение:

Общую дисперсию (σх2) определим по формуле:

где уi – индивидуальные значения признака.

Межгрупповая дисперсия определяется по формуле:

Задача 4

Определите границы изменения среднего значения признака в генеральной совокупности, если известно следующее ее распределение, основанное на результатах повторного выборочного обследования:

Уровень доверительности определите самостоятельно.

Решение:

Задача 5

В области 11 ремонтно-строительных предприятий с объемом выполненных за год работ: 13, 8, 29, 37, 49, 53, 41, 27, 11, 3 и 4 млн. руб. и 8 общестроительных предприятий с объемом выполненных за год работ: 30, 50, 70, 60, 50, 45, 75, 80 млн. руб.

Для разработки межотраслевого баланса отберите 25 % строительных организаций области и рассчитайте коэффициент репрезентативности.

Указание: отбор осуществлять по типическим группам с механической выборкой внутри групп.

Решение:

Задача 6

По нижеприведенным данным о кредитных вложениях банков одной из республик России в 2000 году рассчитайте:

1. средний уровень каждого ряда;

2. Среднеквартальный темп роста вложений всего, в том числе по видам;

3. определите коэффициент опережения.

млн. руб.

Решение:

Определим средний уровень ряда по формуле средней хронологической:

Для кредитных вложений в целом:

Для краткосрочных кредитов:

Для долгосрочных кредитов:

Найдем среднеквартальный темп роста кредитных вложений в целом по формуле:

Для краткосрочных кредитов:

Для долгосрочных кредитов:

Коэффициент опережения – отношение темпов роста или темпов прироста за одинаковые отрезки времени по двум динамическим рядам.

Для краткосрочных кредитов и кредитных вложений в целом:

Коп = 102,8 / 102,6 = 1,002.

Для долгосрочных кредитов и кредитных вложений в целом:

Коп = 112,0 / 102,8 = 1,089.

Для долгосрочных и краткосрочных кредитов:

Коп = 112,0 / 102,6 = 1,092.

То есть темпы роста краткосрочных кредитов отстают от темпов роста как долгосрочных кредитов, так и кредитных вложений в целом. Средний темп роста долгосрочных кредитов является максимальным.

Список использованной литературы

1. Балинова В.С. Статистика в вопросах и ответах: учеб. пособие. – М.: ТК. Велби, «Проспект», 2004.

2. Голуб Л.А. Социально-экономическая статистика: учеб. пособие для студ. Вузов. – М: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.

3. Елисеева И.И., Юзбашева М.М. Общая теория статистики: Учебник для вузов. – 5-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 656 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Практикум по общей теории статистики. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 384 с.

5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник для вузов / Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. 5-е изд., доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 439 с.