Показатели вариации, их виды и способы расчета

 

1. Показатели вариации, их виды  и способы расчета.

В статистике под вариацией понимают количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, обусловленные взаимодействием  различных факторов.  Причины, порождающие  вариацию социально-экономических  явлений, очень сложны и многообразны. Они лежат в коренных особенностях исследуемого явления, в его сущности, а также в методологии сбора  исходной информации. Социально-экономические  явления, как правило, обладают большой  вариацией. Если исследуются результаты целенаправленной человеческой деятельности, то вариация будет выражать вмешательство  многочисленных факторов, природу которых  не всегда можно установить. Однако, в большинстве теоретических  исследований и практических применений статистики необходимы наряду со средней  показатели вариации, характеризующие  группировку значений признака вокруг средней,  т. е. степень упорядоченности  статистической совокупности.

В соответствии с определением вариация измеряется степенью колеблемости вариантов  признака от уровня их средней величины. Именно на этом и основано большинство  показателей, применяемых в статистике для измерения вариации значений признака в совокупности. К показателям  вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Простейшим показателем вариации является размах вариации, определяемый как разность между максимальным и минимальным значениями признака:

 

Размах вариации выражается в тех  же единицах измерений, что в варианты ряда. По величине его можно определить, например, передовое и отстающее  в достижении какой-либо цели. Величина вариации служит также и для характеристики средней. Размах вариации имеет и  самостоятельное значение. Например, в промышленности для измерения  точности изделий устанавливают  определенные пределы, соответствующие  иногда величине размаха вариации их признаков.

Однако показатель размаха вариации не может в полной мере охарактеризовать колеблемость ряда, поскольку он не учитывает промежуточных значений вариантов внутри этих пределов, а  по этому не отражает колеблемость ряда в целом, кроме того, он полностью  зависит от максимального и минимального значений, которые могут оказаться  не достаточно характерными.

Таким образом, размах вариации отражает иногда случайную, а не типичную для  данного ряда величину колеблемости. По этому необходимы другие показатели вариации, основанные на всех значениях  признака в данной совокупности, а  именно: сред нее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов  от их среднего значения. 

Для данных, где частота каждого  варианта равна единице, среднее  линейное отклонение определяется по формуле:

 

Для вариационных рядов  определяется с учетом частот по формуле:

 

Среднее линейное отклонение по сравнению  с размахом вариации дает более полную характеристику колеблемости признака в совокупности.

Средний квадрат отклонений вариантов  от их средней величины называют дисперсией . Дисперсия рассчитывается по формуле:

 

Для негруппированных данных, где частота каждого варианта равна единице, дисперсия рассчитывается по формуле простой средней:

 

Среднее квадратическое отклонение о  представляет собой корень квадратный из дисперсии:

 

либо при равенстве весов:

 

Среднее квадратическое отклонение является также обобщающим показателем колеблемости признака и характеризует средний  показатель отклонения вариантов ряда от их общей средней. Выражается s в тех же именованных числах, в которых выражены варианты совокупности и средняя величина.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - наиболее широко применяемые  показатели вариации. Объясняется это  тем, что они входят в большинство  теорем теории вероятностей, служащих фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние  различных факторов, обусловливающих  вариацию признака. Порядок расчета  среднего квадратического отклонения следующий:

1) Определяется средняя величина:

 

2) Рассчитывается отклонения вариантов  от средней:

 

3) Отклонение каждого варианта  от средней возводится в квадрат:

 

4) Квадрат отклонений взвешивается  по частотам:

 

5) Взвешенные по частотам квадраты  отклонений суммируются:

 

6) Полученная сумма делится на  сумму частот, и из нее извлекается  квадратный корень.

 

Среднее квадратическое отклонение можно  вычислить, составив следующую расчетную  таблицу:

№ п/п		Линейные отклонения от средней	Квадрат линейных отклонений	Взвешенные квадраты
…	…	…	…	…
Итого

Среднее квадратическое отклонение можно  вычислить на основании математических преобразований значений варьирующего признака, применяя способ условных моментов:

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение по способу условных моментов определяется по формуле:

 

Система условных моментов различных  порядков, в частности, третьего и четвертого используется при расчете различных статистических характеристик (например, коэффициентов асимметрии и эксцесса).

Чем больше s, тем разнообразнее состав совокупности по величине изучаемого признака, и, наоборот, чем меньше s, тем состав совокупности по величине изучаемого признака более одинаков. Однако оценка величины s как качественной характеристики ряда в конечном итоге определяется сущностью изучаемых явлений. Среднее квадратическое отклонение используется для сопоставления вариации по однородным совокупностям, а также для одной совокупности за разные годы. Среднее квадратическое отклонение является критерием надежности средней. Чем меньше оно, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.

Коэффициент вариации представляет собой  отношение среднего квадратического  отклонения к средней арифметической:

 

Характеризуя степень колеблемости признака, коэффициент вариации позволяет  давать сравнительную характеристику этой колеблемости одного и того же признака в различных совокупностях.

Коэффициент вариации используется также, если сравнивается степень вариации одного и того же признака в двух совокупностях, имеющих разные по величине средние. Как относительные величины коэффициенты вариации могут сопоставляться не только для одинаковых одноименных  показателей, но и для различных  показателей, выраженных в разных единицах измерения. Таким образом, коэффициент  вариации в отличие от среднего квадратического  отклонения позволяет сопоставить  глубину вариации неоднородных совокупностей.

Разделив изучаемую совокупность на группы, однородные по своим условиям, можно определить, кроме общей  дисперсии  для всей совокупности, дисперсии по отдельным группам  совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и внутригрупповые  дисперсии (по количеству выделенных групп  в совокупности).

Общая дисперсия характеризует  вариацию признака, которая зависит  от всех условий в данной совокупности.

Межгрупповая дисперсия  отражает вариацию изучаемого признака, которая  возникает под влиянием одного признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних х около  общей средней 

Внутригрупповая дисперсия характеризует  случайную вариацию в каждой отдельной  группе. Эта вариация возникает под  влиянием других, неучитываемых факторов, и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Определяется она по формуле:

 

Между общей дисперсий, средней  из внутригрупповых дисперсий  и  межгрупповой дисперсиями существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу, общая дисперсия равна сумме  средней из внутригрупповых и  межгрупповой дисперсий:

Задача 2

Определить по данным таблицы 1 показатели выполнения плана производительности труда рабочих, выполнения планового  задания по каждому предприятию  и по предприятиям в целом, а также  динамику полученных результатов. Дать графическое изображение полученных результатов с помощью столбиковых  диаграмм.

Таблица 1. Плановые и фактические  показатели выпуска продукции и  числа рабочих на предприятиях.

№ предприятия	Число работников, чел.		Выпуск продукции, тыс.ед.
	По плану	Фактически	Факт прошлого года	План отчетного года	Факт отчетного года
1	1000	970	800	850	835
2	1560	1565	1404	1435	1437

 

Решение:

Вычислим плановую и фактическую  производительность труда как отношение  выпуска продукции к числу  работников.

По первому предприятию:

 

 

Выполнение плана:

 

По второму предприятию:

 

 

Выполнение плана:

 

Проиллюстрируем выполнение плана  по производительности труда с помощью  столбиковой диаграммы:

По двум предприятиям вместе:

 

 

Выполнение плана:

 

Вычислим выполнение планового  задания:

По первому предприятию: 

По второму предприятию: 

Проиллюстрируем выполнение планового  задания с помощью столбиковых  диаграмм:

По двум предприятиям вместе:

 

 

Вычислим динамику выпуска продукции:

По первому предприятию: 

По второму предприятию: 

Проиллюстрируем динамику выпуска  продукции

По двум предприятиям вместе:

 

Таким образом 2-е предприятие выполнило  план по производительности труда, однако не выполнила план по выпуску продукции. Первое предприятие выполнило план по выпуску продукции и не выполнило  план по производительности труда. По сравнению с базисным годом выпуск продукции на обоих предприятиях увеличился на 4,4% и на 2,4% соответственно. По двум предприятиям вместе выпуск продукции увеличился на 3,4%.

Задача 3

Определить средний процент  выполнения плана услуг и показатели вариации выполнения плана для данной совокупности  организаций.

Таблица 2. Распределение организаций  по проценту выполнения плана услуг.

Процент выполнения плана, %	до 95	95-100	100-105	110-115	св. 115
Количество организаций, ед.	1	2	31	16	7

 

Решение:

Cоставим расчетную таблицу.

	Середина интервала,
до 95	92.5	1	92.5	14.3	204.5
95-100	97.5	2	195	18.6	173.0
100-105	102.5	31	3177.5	133.3	573.2
110-115	112.5	16	1800	91.2	519.8
св. 115	117.5	7	822.5	74.9	801.4
Итого		57	6087.5	332.3	2271.9

 

Средняя:

 

Среднее линейное отклонение:

 

Дисперсия:

 

Среднее квадратическое отклонение:

 

Размах вариации:

 

Коэффициент осцилляции:

 

Относительное линейное отклонение:

 

Коэффициент вариации: 

 

 

Таким образом средний процент  выполнения плана составил 106,8%.  Коэффициент вариации составил 5,9% -  вариация выполнения плана по предприятиям маленькая.

Задача 4

По данным таблицы 4 определить:

1) вид динамического ряда и  средний уровень ряда;

2) цепные и базисные абсолютные  приросты;

2) цепные и базисные темпы  роста и прироста;

4) среднегодовой коэффициент роста,  темп роста и темп прироста  за указанный период.

Таблица 3. Динамика оборота розничной  торговли на душу населения в РФ, руб.