Прогнозирование на основе экстраполяции тренда. Численность трудоспособного населения г. Москвы

     Для выявления основной тенденции в  статистике используются методы укрупнения периодов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

     Метод укрупнения периодов заключается в  том, что уровни ряда за короткие периоды (подверженные случайным колебаниям) заменяют их средним значением за более продолжительный период. По существу, метод укрупнения периодов представляет собой группировку, следовательно, период укрупнения должен быть однородным с точки зрения определяющих тенденцию факторов. При резком изменении факторов, определяющих тенденцию, периоды по длительности могут быть разными.

     Метод укрупнения периодов предназначен, прежде всего, для выделения качественно специфических периодов с последующей характеристикой их. Так, если выделяется 3-летний период, то уровни определяются: 

       

     и т. д.

     При анализе динамических рядов за сравнительно небольшой период времени, а также рядов с резко выраженной колеблемостью, для проявления тенденции развития которых приходится брать укрупненные периоды значительной продолжительности, использование метода укрупнения периодов дает недостаточное число средних уровней для выводов о характере тенденции. Кроме того, средние по укрупненным периодам не раскрывают ход процесса. Эти недостатки в значительной мере могут быть преодолены путем расчета скользящих средних.

     Метод скользящей (подвижной) средней также  основан на укрупнении периодов и выравнивании случайных условий. Суть этого метода заключается в том, что состав периода непрерывно и постепенно изменяется – происходит сдвиг на один интервал. При 3-летнем периоде:

     

 и  т. д.

     В результате получаем ряд средних, которые  во многом свободны от случайных колебаний и проявляют основную тенденцию развития исследуемого явления. Простота выявления типа тенденции способом скользящей средней обусловливает его широкое применение при анализе рядов динамики.

     Чаще  всего, особенно в экономике, приходится встречаться с неравномерным изменением показателей в динамике, и чтобы определить количественную характеристику тенденции развития, применяют аналитическое выравнивание (построение статистических моделей тренда). Модель позволяет определить параметры тренда, наглядно выразить тенденцию и отклонения от нее.

     Целью аналитического выравнивания динамического  ряда является определение аналитической и графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

     Чаще  всего при выравнивании используются следующие зависимости:

     линейная  – полиномом первой степени  

     

        (1) 

     параболическая  – полиномом второй степени 

     

      

     полиномом n-й степени 

     

      

     где – параметры полиномов;

     экспоненциальная

     

   

     Гиперболическая

              Логистическая

              

     гармоническая (гармоника ряда Фурье)

              Параметры уравнения должны соответствовать условию, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда динамики от расчетных была минимальной .

     В соответствии с характером развития исследуемого явления выбирается функция прямой или кривой линии, по ней же строится модель тренда. Параметры определяются методом наименьших квадратов. Так, для линейной зависимости уравнение имеет вид:

     

     Если  начало отсчета времени (t) перенести в середину ряда, т. е. =0, тогда: . Рассчитанные параметры уравнения дают характеристику развития ряда динамики, так – начало отчета; – средняя скорость прироста или снижения уровней ряда динамики.

     1.3. Показатели колеблемости и прогнозирования

 

     Выявление основной тенденции применяется  также для расчета показателей колеблемости уровней. Основными показателями колеблемости являются показатели, характеризующие вариацию признаков. Но вариация показывает изменение признака в пространстве, а колеблемость – во времени. Каждый последующий уровень ряда динамики зависит от предыдущего, характеризуя развитие исследуемого явления, тогда как вариации признака в пространстве характеризуют независимые друг от друга уровни. Показатели вариации рассчитываются отклонением индивидуальных значений признака от их среднего значения, а колеблемости – через отклонения уровней от их выравненного значения (тренда).

     Для характеристики колеблемости применяются  следующие показатели:

     размах  колеблемости

     

;

     абсолютное  отклонение

     

; 

     среднее квадратическое отклонение  

     

; 

     коэффициент колеблемости

     

 

     Устойчивость  динамики ряда проявляется в характере  отклонений фактических уровней  от основной тенденции. Для характеристики устойчивой тенденции также применяется  коэффициент корреляции рангов Спирмена. Коэффициент корреляции рангов характеризует высокоустойчивую тенденцию роста. Для комплексной оценки колеблемости можно использовать соотношения среднегодового абсолютного изменения и среднеквадратического отклонения уровней от тренда или среднего темпа прироста к коэффициенту колеблемости.

     Продолжив линию тренда за пределы анализируемого периода, можно получить прогнозные оценки.

     На  практике результат экстраполяции  прогнозируемых уровней социально-экономических  явлений обычно выполняют интервальными  оценками. Для определения границ интервалов используется интервальное неравенство:

     Y_t–t_gσ≤Y_пр≤ Y_t+t_gσ,   (2)

     где t_g – коэффициент доверия g_j распределения Стьюдента;

     σ – остаточное среднее квадратическое отклонение.

     Коэффициент доверия t_g выбирается из статистических таблиц распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы (n-m) и уровня значимости α (0,01 или 0,05).

     n – количество уровней рассматриваемого (базисного) ряда динамики;

     m – количество параметров теоретической зависимости тренда;

     (n-m) – число степеней свободы.

     Тогда окончательно с вероятностью P=1-α прогнозный уровень тренда в будущем Y_t будет находится в пределах: верхний предел составляет (Y_t+t_gσ), нижний предел – (Y_t–t_gσ).

     Анализ  тенденции, колеблемости, прогноза –  трудоемкий процесс, который требует  данных динамических рядов, рядов распределения и статистических расчетов с использованием ЭВМ.

     Но  прогнозирование по тренду и колеблемости допустимо только при сохранении выявленной тенденции и условий, определяющих колеблемость уровня исследуемого явления. 
 

 

ГЛАВА 2 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ПОСТОЯННОГО НАСЕЛЕНИЯ МОСКВЫ В ТРУДОСПОСОБНОМ ВОЗРАСТЕ 

      По  данным Федеральной службы государственной  статистики _{численность постоянного населения г. Москвы в трудоспособном возрасте (16-59 для мужчин), (16-54 для женщин) представлена в таблице 2.1.} 

      _{Таблица 2.1. Численность постоянного населения г.Москвы в трудоспособном возрасте (16-59 для мужчин), (16-54 для женщин), человек,на 1 января.}

 

      Проведем аналитическое выравнивание ряда динамики численности трудоспособного населения г. Москвы (см. табл. 2.1)

      Таблица 2.1.

 

     Используя уравнение прямой (1), определим методом наименьших квадратов параметры уравнения: 

      a₀  

      a₁  

     Уравнение тренда имеет вид: 

     

, (тыс.чел.) 

     Построим  график, характеризующий численность трудоспособного населения г. Москвы (рис.2.1). 

Рис. 2.1. Динамика численности постоянного  населения г. Москвы в трудоспособном возрасте (16-59 для мужчин), (16-54 для женщин).

     Путем подстановки соответствующих значений t в уравнение тренда получим теоретические значения уровней по годам. 

     Проведем  экономический анализ полученных результатов.

     Параметр  a₁ представляет собой средний прирост выравненного уровня за единицу времени t (за год), т.е. средний уровень численности трудоспособного населения г.Москвы за каждый год возрастал в среднем на 29,13 тыс.человек.

     Параметр  a₀ – это средний уровень, соответствующий t=0, т.е. ожидаемое среднее количество трудоспособного населения г.Москвы в анализируемый период составляло 6694,66 тыс. человек.

     Совпадение  итогов эмпирических и теоретических  уровней свидетельствует о правильности произведенных вычислений:

      ;     73 641,26=73 641,26

     Рассчитаем  показатели колеблемости:

     – средняя квадратическая ошибка тренда равна:

      (тыс.чел.),

     где p – число параметров кривой роста. 

     – коэффициент вариации средней квадратической ошибки тренда равен:

      ,

     где (тыс.чел.)

     Таким образом, колеблемость среднего уровня ожидаемого количества трудоспособного  населения г.Москвы около линейного  тренда незначительна и составляет 144,76 тыс.человек, или 2,16%. 

     Продолжив линию тренда за пределы анализируемого периода (2000–2010 гг.), можно получить прогнозные оценки. Так, по линии тренда интервальный прогноз на 2012 г. составит: