Средние величины как статистические показатели

ема 5. Средние величины как статистические показатели 
 

5.1.

Понятие средней  величины. Область применения средних  величин в статистическом исследовании 

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения  полученных первичных статистических данных. Потребность определения  средних величин связана с  тем, что у различных единиц исследуемых  совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы. 

Средней величиной  называют показатель, который характеризует  обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности. 

Если исследуется  совокупность с качественно однородными  признаками, то средняя величина выступает  здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем  дохода определяется типическая средняя  расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно  однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости. 

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними. 

Таким образом, значение средних величин состоит в  их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие  свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие  закономерности, обусловленные общими причинами. 

5.2.

Виды средних величин  и методы их расчета 
 

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно  выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться  следующим правилом: величины, которые  представляют собой числитель и  знаменатель средней, должны быть логически  связаны между собой. 

Используются две  категории средних величин: 

степенные средние; 

структурные средние. 

Первая категория  степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую и среднюю геометрическую. 

Вторая категория (структурные средние) - это мода и медиана. Эти виды средних будут рассмотрены в теме «Ряды распределения». 

Введем следующие  условные обозначения: 

- величины, для которых  исчисляется средняя; 

- средняя, где  черта сверху свидетельствует  о том, что имеет место осреднение  индивидуальных значений; 

- частота (повторяемость  индивидуальных значений признака). 

Различные средние  выводятся из общей формулы степенной  средней: 

(5.1) 

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая. 

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными  средними называют величины, которые  учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную  численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней. 

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности. 

Формула средней арифметической (простой) имеет вид 

(5.2) 

где n - численность совокупности. 

Например, средняя  заработная плата работников предприятия  вычисляется как средняя арифметическая: 
 

Определяющими показателями здесь являются заработная плата  каждого работника и число  работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками  поровну. К примеру, необходимо вычислить  среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек: 
 

При расчете средних  величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид 

(5.3) 

Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом: 

1 - 800 ак. - 1010 руб. 

2 - 650 ак. - 990 руб. 

3 - 700 ак. - 1015 руб. 

4 - 550 ак. - 900 руб. 

5 - 850 ак. - 1150 руб. 

Исходным соотношением для определения среднего курса  стоимости акций является отношение  общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА): 

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500; 

КПА = 800+650+700+550+850=3550. 

В этом случае средний  курс стоимости акций был равен 
 

Необходимо знать  свойства арифметической средней, что  очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно  выделить три основных свойства, которые  наиболее всего обусловили широкое  применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах. 

Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме  отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены. 

Доказательство: 
 

Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем  от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное. 

Доказательство. 

Составим сумму  квадратов отклонений от переменной а: 

(5.4) 

Чтобы найти экстремум  этой функции, необходимо ее производную  по а приравнять нулю: 
 

Отсюда получаем: 
 

(5.5) 

Следовательно, экстремум  суммы квадратов отклонений достигается  при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума. 

Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:  при а = const. 

Кроме этих трех важнейших  свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники: 

если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз; 

средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число; 

если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить  или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину. 

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней  арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1. 

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1: 

(5.6) 

К примеру, нам нужно  вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот  же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость: 
 

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид 

(5.7) 

Данная формула  используется в тех случаях, когда  веса (или объемы явлений) по каждому  признаку не равны. В исходном соотношении  для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель. 

Например, при расчете  средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных  товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:Вид товара Цена за единицу, руб. Сумма реализаций, руб.

а 50 500

б 40 600

с 60 1200 
 

Получаем 
 

Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна: 
 

Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической. 

Для простой средней геометрической 
 

Для взвешенной средней  геометрической 

(5.9) 

Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения). 

Формула простой  средней квадратической 

(5.10) 

Формула взвешенной средней квадратической 

(5.11) 

В итоге можно  сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение  задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую  последовательность: 

а) установление обобщающего  показателя совокупности; 

б) определение для  данного обобщающего показателя математического соотношения величин; 

в) замена индивидуальных значений средними величинами; 

г) расчет средней  с помощью соответствующего уравнения.