Статистическое изучение выборочных данных экономических показателей

      Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внес А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.

      В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

      Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

      Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов.

      Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда К. Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ[2] и многочисленные нелинейные обобщения[3].

      Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

      В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Исследование выборочных статистических данных

     Объем продаж компьютерной техники в магазине «Горбушкин двор» изменяется в зависимости от времени года, ассортимента товаров, цен производителя и т.д. Известны статистические данные этого показателя в течение некоторого времени.

1. Необходимо сгруппировать данные, образовав 8-10 интервалов. Найти распределение частот и относительных частот .
2. Найти и построить эмпирическую функцию распределения

Найдем эмпирическую функцию  распределения по формуле:

3. Построить полигон распределения. Построить гистограмму частот и относительных частот распределения. Объяснить основное свойство гистограммы
4. Выдвинуть гипотезу о вероятном распределении показателя. Найти точечные оценки числовых характеристик распределения
5. Методом моментов найти оценку параметров распределения, считая его равномерным на заданном интервале значений

 

6. Оценить истинные значения параметров выборочного распределения с помощью доверительного интервала с надежностью 0.95,считая распределение нормальным
7. Использовать критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить согласуется ли гипотеза о

              а) нормальном распределении выборки

              б) показательном распределении выборки

              в) равномерном распределении выборки

 

1. Сгруппировав данные получим 8 интервалов:

 

	[3;5)	[5;7)	[7;9)	[9;11)	[11;13)	[13;15)	[15;17)	[17;19]
	1	1	4	9	17	12	4	1

 

   Найдем распределение частот:

 

	4	6	8	10	12	14	16	18
	1	1	4	9	17	12	4	1

    

   Найдем распределение относительных частот

 

n= 1+1+4+9+17+12+4+1=49

 

	4	6	8	10	12	14	16	18
	0.02	0.02	0.08	0.18	0.35	0.24	0.082	0.02

 

 

 

1. x(-

     0

 

2. x

      =0.02

 

3. x

      =0.02+0.02=0.04

 

4. x

                    =0.04+0.08=0.12

 

5. x

       =0.12+0.18=0.3

 

6. x

       =0.3+0.35=0.65

 

7. x

        =0.65+0.24=0.89

 

8. x

        0.89+0.082=0.972

 

9. x

       0.97+0.02=1

 

Итак, эмпирическая функция  распределения будет выглядеть  так

 

 

 

 

Построим эмпирическую функцию  распределения

3.    

                            Полигон распределения

 

        Гистограммой – называется фигура состоящая из прямоугольника . Основания прямоугольников – интервальные задания случайной величины, высота прямоугольников

• для гистограммы частот находится по формуле:

 

                                       =

    =0.5

 

  =0.5

    

    

    

    

    

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• для гистограммы относительных частот находится по формуле:

 

                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Метод моментов применяется для оценки неизвестных параметров распределения, суть методов заключается в том, что приравниваются теоретические и эмпирические моменты. Если закон распределения содержит 1 параметр, то для оценки этого параметра составляется одно уравнение, в котором теоретический момент приравнивают к эмпирическому моменту. Если распределение случайной величины содержит 2 параметра, то составляют два уравнения и т.д.

    

     Считая распределение  равномерным на заданном интервале  значений

запишем дифференциальный закон:

      2 параметра распределения a и b

M(x)=        

         D(x)=       

                                                                                   D(x)                                                   

                             

 

    (4+6+32+90+204+168+64+18)==11.959

 

   =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.   

     Доверительным называют интервал который с заданной надежностью показывает заданный параметр.

     Истинное значение  измеряемой величины равно ее  математическому ожиданию a. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при известном ) при помощи доверительного интервала

   

                                       

    = 2.009

    Все величины  кроме S(среднеквадратического отклонения) известны. Для нахождения S сначала найдем (исправленную дисперсию).

                                 

     *175.4=3.58

   =1.89

  

    

 

7.  а) 1.

    2.  Вычислим теоретические частоты, учитывая, что  n=49, h=1, =2.6,

по формуле:

 

 

i
1	4	-3,06	0.0037	0,07
2	6	-2,29	0.0290	0,55
3	8	-1,52	0.1257	2,37
4	10	-0,75	0.3011	5,67
5	12	0,015	0.3989	7,52
6	14	0,78	0.2943	5,55
7	16	1,55	0.1200	2,26
8	18	2,32	0.0270	0,51

  

       3. Сравним эмпирические и теоретические частоты

I) составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия

 

1	1	0,07	0,93	0,86	12,2
2	1	0,55	0,45	0,2	0,36
3	4	2,37	1,63	2,66	1,12
4	9	5,67	3,33	11,09	1,95
5	17	7,52	9,48	89,87	11,95
6	12	5.55	6,45	61,15	11,02
7	4	2,26	1,74	3,03	1,1
8	1	0,51	0,49	0,24	0,47

 

 

 

 

 

Из таблицы найдем

 

II) по таблице критических точек распределения , по уровню значимости k=s-3=8-3=5

                   

Т.к. - гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

 

б) объединим малочисленные частоты (4+6=10), (16+18=34) и соответствующие им теоретические частоты (16,17+5,88=22,05), (1,96+1,96=3,92)

 

3-5	1
5-7	1
7-9	4
9-11	9
11-13	17
13-15	12
15-17	4
17-19	1

объединив малочисленные  интервалы получим

 

3-9	6
9-11	9
11-13	17
13-15	12
15-19	5

 

 

1.

2.   Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения

                 

      Т.о. плотность  предполагаемого показательного  распределения имеет вид:

 (x>0)

3.   Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

 

    

       Например, для первого интервала:

 

 

 

 

 

 

 

   ⅀=1

4. , где -й интервал

     Например, для  первого интервала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

 

 

 

 

1	17	25,48	-8,48	71,91	2,82
2	12	14,7	-2,7	7,29	0,5
3	9	3,92	5,08	25,8	8,6
4	6	2,45	3,55	12,6	5,14
5	5	2,45	2,55	6,5	2,6
	49