14

Автономная некоммерческая организация                                                высшего профессионального образования

Центросоюза Российской Федерации

«Российский университет кооперации»

Новгородский филиал

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Статистика»

               на тему: «Статистика численности»

Выполнил студент гр.  

МтС-1001

Дмитриенко О.Г

Проверил:  преподаватель                                                                                                                           Романенкова Т.Д.

Великий Новгород

Содержание

Задание 1. Статистика численности населения              3

Задание 2              13

2.1 Исходные данные              13

2.2 Группировка хлебозаводов по выпуску продукции              14

2.3 Средние и структурные средние величины по группировочной таблице              15

2.4 Показатели вариации              19

Задание 3              24

3.1 Исходные данные              24

3.2 Статистические показатели динамики              25

3.3 Графическое отображение исходных данных              29

3.4 Сезонные колебания в рядах динамики              31

3.5 Сглаживание колеблемости в рядах динамики              33

Литература              43

Задание 1. Статистика численности населения

Успех государства почти во всех его сферах тесно связан с устойчивым демографическим развитием, обеспечивающим обществу жизненное воспроизводство человеческого потенциала. Эту очевидную истину в разное время настойчиво доказывали многие выдающиеся мыслители: А. Смит, Ж. Ж. Руссо, Ш. Монтескье, М. В. Ломоносов, Д. И. Менделеев и др.

Население является прямым непосредственным участником производственного процесса и потребителем результатов этого процесса. Поэтому статистическое изучение общественного производства невозможно без всестороннего изучения населения. Статистика населения изучает количественные закономерности явлений и процессов, происходящих в населении, в непрерывной связи с их качественной стороной.

Обычно под населением понимают совокупность людей, проживающих на какой-либо территории. Такого понимания, выделяющего в качестве атрибутивных два основных признака - количественный (то, что население - это совокупность) и территориальный (то, что население связано с определенной территорией), вполне достаточно для большинства наук, для которых население - объект исследования. Важно и необходимо знать, какова численность населения Земли, континента или крупного региона, той или иной страны, территории внутри страны, населенного пункта и т.п., в каком направлении и с какой скоростью эта численность изменяется, какова численность мужчин и женщин, как население распределяется между различными возрастными группами и т.д. И это знание, а также способы его получения составляют значительную часть демографии, тот ее раздел, который называется статистикой населения.

Основными источниками статистики населения являются переписи населения и текущая регистрация актов гражданского состояния, осуществляемая органами записей актов гражданского состояния, а также текущая регистрация передвижения населения паспортными учреждениями.

Методы статистического изучения населения включают ряд методов общей теории статистики (классическими методами являются наблюдение, сравнение, детализация, подстановки, корреляция, графический метод и др.), математические методы и специальные методы, разработанные в самой статистике населения.

Статистика населения, используя перечисленные методы, разрабатывает систему обобщающих показателей, указывает на необходимую информацию, способы их расчета, познавательные возможности этих показателей, условия применения, порядок записи и содержательную интерпретацию.

Самым первым показателем, с которого начинается анализ населения и его изменений, является абсолютная численность населения, которая характеризует общую величину населения, количество людей, проживающих на данной территории в данный момент времени. Абсолютная численность населения является моментным, т.е. относящимся к точному моменту времени, показателем. Данные об абсолютной численности населения получают или в результате проведения переписей населения (исчисление населения), или расчетным путем исходя из информации о числе родившихся, умерших, а также о сальдо миграции.

Абсолютная численность населения непрерывно меняется во времени. Переписи фиксируют величину этого показателя на определенный момент времени. Если имеются данные нескольких переписей (хотя бы двух), мы можем изучать изменения абсолютной численности населения во времени, на протяжении того или иного периода. Это изменение, разность между величинами абсолютной численности населения в те или иные моменты времени, называется абсолютным приростом населения.

Изменение численности населения является динамическим итогом притока в него и оттока из него, результатом совместного действия сил, увеличивающих и уменьшающих его численность. Численность населения увеличивается за счет рождений и иммиграции, но одновременно уменьшается за счет смертей и эмиграции. Следовательно, величина абсолютного прироста (убыли) численности населения зависит от четырех составляющих: чисел рождений и смертей, а также чисел иммигрантов и эмигрантов, которые наблюдались на протяжении рассматриваемого периода.

Разность между числом рождений и смертей за период называется естественным приростом, являющимся итогом т. н. естественного движения населения. Баланс между иммиграцией и эмиграцией называется миграционным приростом, или сальдо миграции. (Выражения рост и прирост являются данью традиции, идущей от тех времен, когда численность населения разных стран со временем, как правило, только увеличивалась. В наши дни, когда в растущем числе стран наблюдается депопуляция, более строго и правильно говорить об изменении численности населения.)

Можно сказать, что численность населения территории изменяется под действием только двух процессов - естественного движения населения и миграции. Они являются слагаемыми (в алгебраическом смысле) так называемого уравнения демографического баланса.

Если мы знаем численность населения в начальный момент времени, число родившихся за период, число умерших за этот же период, число прибывших и число убывших, то мы можем рассчитать численность населения в момент времени k:

где Sк - численность населения на конец года;

Sн - численность населения на начало года;

N - число родившихся за год;

П - число прибывших за год;

М – число умерших за год;

В – число выбывших за год.

Будучи вполне приемлемым как первая характеристика динамики численности населения, его абсолютный прирост тем не менее обладает тем весьма существенным недостатком, что он сильно зависит от величины самой абсолютной численности населения, а также от длины рассматриваемого периода. Чем больше абсолютная численность населения и длина периода, тем больше при прочих равных условиях и абсолютная величина абсолютного прироста (убыли). Поэтому необходим переход к относительным показателям, которые очищены от влияния этих параметров. При этом в зависимости от того, рассчитываются ли эти относительные показатели по отношению к начальной или средней численности населения, принято различать соответственно темпы роста и прироста и коэффициенты роста и прироста.

Самыми простыми из них являются темпы роста и прироста за период. Первый из них равен отношению численности населения в конце периода к численности населения в его начале

Темпы роста и прироста за период свободны от одного из недостатков, свойственных абсолютному приросту, а именно от зависимости от абсолютной численности населения. Они дают возможность сравнивать между собой динамику численности населения различных стран и регионов, различные периоды в истории одного и того же населения и т.д. Однако их крупным недостатком остается то, что они сильно зависят от длины периода, для которого рассчитываются: чем длиннее этот период, тем, при прочих равных условиях, они больше. К тому же эти показатели ничего не говорят об изменениях скорости роста или убыли численности населении внутри периода. И чем больше длительность периода, тем сильнее эта маскировка.

Расчет демографических показателей очень часто бывает связан с необходимостью определения среднегодовой численности населения территории. Выбор способа ее расчета зависит от исходных данных.

Если имеются данные на начало (S1) и конец периода (S2), то средняя численность населения определяется по формуле средней арифметической простой:

Если имеются данные равноотстоящего моментного ряда динамики, то

где S1, S2, ..., Sn-1, Sn – численность населения на начало месяца;
n – число месяцев.

Если требуется найти среднюю численность населения в не равноотстоящем моментном ряду динамики, то используется формула средней арифметической взвешенной:

где  – средняя численность населения в i-м интервале, рассчитываемая по приведенным выше формулам;

ti – длительность i-го интервала времени. Если нужно определить среднюю численность населения за длительный период времени, то используется формула средней логарифмической:

где S1 – численность населения на начало периода;

Sn – то же на конец периода.

Абсолютные показатели естественного движения населения не могут характеризовать уровень рождаемости, смертности, естественного прироста, так как они зависят от общей численности населения. Поэтому для характеристики естественного движения населения указанные показатели рассчитываются по отношению к 1000 человек населения, т.е выражаются в виде относительных величин.

Основными относительными показателями естественного движения населения являются коэффициент рождаемости, коэффициент смертности, коэффициент естественного прироста. Все эти коэффициенты рассчитываются в промилле.

Наиболее простым и широко используемым относительным показателем рождаемости является общий коэффициент рождаемости. Общий коэффициент рождаемости рассчитывается как отношение абсолютного числа рождений к средней численности населения за период, обычно за год. Это отношение для наглядности умножается на 1000, т. е. общий коэффициент рождаемости измеряется в промилле (%о):

где КN - общий коэффициент рождаемости;

N - число родившихся за год;

- cредняя численность населения.

Величина общего коэффициента рождаемости дает лишь самое первое, приближенное представление об уровне рождаемости, поскольку сильно зависит не только от интенсивности рождаемости, т. е. от среднего числа детей, рожденных женщинами, но и от демографических и других структур, в первую очередь от возрастно-половой и брачной. В этой связи общий коэффициент рождаемости называют еще и грубым ее коэффициентом. Чтобы элиминировать влияние демографических и других структур на показатели рождаемости, рассчитывают ее специальный коэффициент.

Специальный коэффициент рождаемости рассчитывается применительно к той части населения, которая «производит» рождения, т. е. по отношению только к численности женщин репродуктивного возраста (15-49 лет или, в некоторых странах, 15-44 года). Специальный коэффициент рождаемости равен отношению общего числа рождений за год к среднегодовой численности женщин репродуктивного возраста, умноженному на 1000%о. Среднюю годовую численность женщин в возрасте 15-49 лет определяем как произведение среднегодовой численности населения на долю женщин указанного возраста – Дж.

где F – специальный коэффициент рождаемости;

КN - общий коэффициент рождаемости;

- cредняя численность населения;

Первым относительным показателем уровня смертности является общий коэффициент смертности. В общем случае он равен отношению числа случаев смерти за период времени к среднему (среднегодовому, если речь идет о годе) населению:

где КМ - общий коэффициент смертности;

М - число умерших за год;

- cредняя численность населения.

Коэффициент естественного прироста можно рассчитать по формуле:

где КΔ - коэффициент естественного прироста;

Δе – абсолютный естественный прирост населения за период;

- cредняя численность населения.

Коэффициент жизненности, или индекс Покровского - показатель жизненности, отношение числа родившихся к числу умерших за определенный период времени, обычно за год. При положительном естественном приросте населения индекс больше единицы, при отрицательном - меньше. Коэффициент жизненности населения исчислим по формуле:

Среди повозрастных коэффициентов смертности особое место занимает коэффициент младенческой смертности, т.е. показатель, измеряющий смертность детей в возрасте до года.

Смертность в возрасте до года, с одной стороны, резко превышает смертность в других возрастах, кроме самых старших. С другой же стороны, величина младенческой смертности служит мощным и весьма информативным показателем уровня социально-экономического развития страны.

Коэффициент младенческой смертности рассчитывается не так, как остальные повозрастные коэффициенты. По своей природе показатель младенческой смертности является, строго говоря, не коэффициентом, а вероятностью. При его вычислении число смертей детей в возрасте до 1 года делится не на их среднегодовую численность, а на число родившихся. Дело в том, что для этой возрастной группы понятие среднегодовой численности практически неопределимо. К тому же вероятности смерти в начале и в конце первого года жизни сильно отличаются друг от друга.

Формула коэффициента детской (младенческой) смертности:

где Кm - коэффициент младенческой смертности;

m1 – число детей, умерших в возрасте до года;

N0 – число родившихся за период;

N1 – число родившихся за предыдущий период.

Численность населения страны и территории меняется не только за счет рождений детей, но и за счет и прибытия иммигрантов, а уменьшается не только за счет смертей, но и убытия эмигрантов.

Коэффициент естественного прироста можно рассчитать по формуле:

где КΔ - коэффициент естественного прироста;

Δе – абсолютный естественный прирост населения за период;

- cредняя численность населения.

Миграция населения - это передвижение людей (мигрантов) через границы тех или иных территорий (страны, региона, области, района и т.д.), связанное с переменой места жительства навсегда или на более или менее длительное время. Миграционные потоки являются важным объектом исследования, поскольку дают сведения о том, как перемещается население, в каком направлении, что из себя представляет социально-демографический состав мигрантов.

К основным показателям миграции относятся следующие:

число прибытий - П;

число выбытий - В;

миграционный прирост - (П - В), если П > В;

миграционный отток - (П - В), если П < В.

Выбывшим считается лицо, которое выехало за пределы данной территории. К прибывшим относятся лица, которые въехали на данную территорию из-за ее пределов. Число выбывших и прибывших определяется по показателям регистрационных учетов по месту прибытия и месту убытия.

Для статистической характеристики миграционных процессов используют расчетные относительные показатели: коэффициенты интенсивности (прибытия, выбытия, миграционного оборота), коэффициент эффективности миграции.

Коэффициент прибытия

Данный коэффициент характеризует число прибывших на 1000 человек населения в среднем за год.

Коэффициент выбытия

Этот коэффициент характеризует число выбывших на 1000 человек населения в среднем за год.

Коэффициент интенсивности миграционного оборота

Данный коэффициент может иметь как положительное значение (+), так и отрицательное (-) и характеризует в положительном значении приток, а в отрицательном - отток.

Коэффициент миграционного (механического) прироста

Наконец, важным показателем является коэффициент эффективности миграции

В целях получения сводной характеристики изучаемого демографического процесса в целом в статистической практике используется система вероятностных таблиц.

Возможность их построения связана с тем, что все демографические события носят вероятностный характер и обладают следующими свойствами:

а) необратимость (нельзя дважды родиться или умереть);

б) неповторимость (можно только один раз родить первенца);

в) строгое соблюдение очередности наступления событий (нельзя вступить в повторный брак, не вступив в первый).

Основными показателями таких таблиц служат: возраст наступления такого или иного события для каждой возрастной группы населения; количество человек в каждой возрастной группе; находящихся в преддверии наступления данного события; вероятность пребывания в прежнем состоянии.

Задание 2

2.1 Исходные данные

Имеются данные о выпуске промышленной продукции хлебозаводами. В результате статистического наблюдения получена информация о производстве хлебобулочной продукции.

Задание:

- Провести статистическую группировку предприятий по выпуску продукции, построив группировочную таблицу с равновеликими интервалами. Выводы по группировочной таблице оформить письменно;

- Рассчитать средние показатели (по группировочной таблице), структурные средние;

- Рассчитать все показатели вариации.

2.2 Группировка хлебозаводов по выпуску продукции

В результате первой стадии статистического исследования - статистического наблюдения - получают сведения о каждой единице совокупности. Задача второй стадии статистического исследования состоит в том, чтобы упорядочить и обобщить первичный материал, свести его в группы и на этой основе дать обобщающую характеристику совокупности.

Группировка позволяет получить такие результаты, по которым можно выявить состав совокупности, характерные черты и свойства типичных явлений, обнаружить закономерности и взаимосвязи. Результаты сводки могут быть представлены в виде статистических рядов распределения.

Ряд распределения – это группировка, в которой для характеристики групп (упорядоченно расположенных по значению признака) применяется один показатель – численность группы. Другими словами, это ряд чисел, показывающий, как распределяются единицы некоторой совокупности по изучаемому признаку.

Для построения ряда распределения непрерывных признаков, значения вариантов указываются в интервалах «от – до». При построении интервальных рядов необходимо определить число интервалов и определить величину интервала. Если можно заранее установить определенное количество групп, то величину равного интервала можно вычислить по формуле

где i - величина равного интервала; xmax , xmin - наибольшее и наименьшее значения признака; n - число групп.

Находим ширину каждого из интервалов:

где n = 6 – число групп.

Составляем группировочную таблицу из 6 групп:

По построенной таблице можно сделать вывод о неравномерности распределения хлебозаводов по выпуску продукции. Анализируемый ряд распределения несимметричен и не соответствует нормальному закону распределения. Максимальная частота – 35 соответствует интервалу 400-547,5 к этому интервалу относится примерно 26 % от общего числа хлебозаводов. Второй по частоте начальный интервал – до 252,2 тонн – к нему принадлежит 31 хлебозавод или 23 % от общего числа. К конечному интервалу 842,5 и более относится минимальное количество хлебозаводов – 12 или 9 %. К оставшимся интервалам принадлежит по 12, 14 и 17 % от общего числа хлебозаводов.

2.3 Средние и структурные средние величины по группировочной таблице

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

Если расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид:

Для интервального вариационного ряда при исчислении средней арифметической предварительно в каждом интервале рассчитывается середина его, которая принимается за конкретное значение признака и умножается на соответствующую частоту. Величина открытых интервалов принимается равной величине смежных с ними интервалов. В интервальном ряду, где за величину признака в каждой группе условно принимается середина интервала, средняя арифметическая может отличаться от средней, рассчитанной по не сгруппированным данным.

В анализируемой совокупности хлебозаводов средний выпуск продукции составляет 491,21.

Для определения структуры совокупности используют особые средние показатели, к которым относятся медиана и мода, или так называемые структурные средние. Если средняя арифметическая рассчитывается на основе использования всех вариантов значений признака, то медиана и мода характеризуют величину того варианта, который занимает определенное среднее положение в ранжированном вариационном ряду.

Модой (Мо) называют значение признака, которое встречается наиболее часто у единиц совокупности. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой.

Чтобы найти конкретное значение моды, необходимо использовать формулу

,

где ХMo – нижнее значение модального интервала;

mMo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

mMo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

mMo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

Медиана — это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая — большие.

Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

,           

где XMe – нижняя граница медианного интервала;

hMe – его величина;

(Sum m)/2 – половина   от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

SMe-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

mMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

Медианный интервал (содержащий частоту, который делит ряд пополам) определяется по накопленным частотам. Это будет интервал, накопленная частота которой равна или превышает половину суммы частот. Порядковый номер медианы равен 137 : 2 = 69. По накопленным частотам находим, что 69-я единица находится в интервале 400-547,5. По формуле определяем медиану:

Сравнение и выявление соотношений между модой, медианой и средней арифметической помогает выяснить особенности распределения того или иного вариационного ряда. Так, в симметричных рядах, все три характеристики (средняя, мода и медиана) примерно совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней величиной, тем более асимметричен ряд. Установлено, что для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в три раза превышает разность между медианой и средней арифметической:

В нашем случае разность между модой и средней арифметической составляет 467,43 – 494,21 = 26,7 , а разность между медианой и средней арифметической 477,96 – 494,21 = 16,2, то есть приведенное выше условие асимметричности не соблюдается, но значения показателей расходятся не существенно, поэтому можно говорить о несильной асимметрии ряда. хср. > Me > Mo, значит имеет место правосторонняя асимметрия.

2.4 Показатели вариации  

Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации R - самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

R = xmax – xmin = 990 – 105 = 885

Размах вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю:

При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают определенные неудобства, связанные с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и с отрицательными величинами, что побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень широкое распространение. К таким показателям относятся среднее квадратическое отклонение  и среднее квадратическое отклонение в квадрате , которое называют дисперсией.

Дисперсия признака (s2) определяется на основе квадратической степенной средней:

.

Показатель ,  называется средним квадратическим отклонением.

Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных величинах, особенно для целей сравнения колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Данные показатели рассчитываются как отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

1. Коэффициент осцилляции

.

 2. Относительное линейное отклонение

3. Коэффициент вариации:

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Анализ интервального ряда распределения показал, что в изучаемой совокупности средний объем выпуска продукции по всем хлебозаводам составляет 494,21 тонны, наиболее часто встречающееся значение (мода) 467,43, а половина заводов выпускает более 477,96 тонн продукции.

Рассчитанные показатели позволяют сказать, что анализируемый ряд распределения имеет правостороннюю асимметрию, обладает высокой колеблемостью признака в изучаемой совокупности хлебозаводов, вариация признака составляет 48,41 %.

Задание 3

3.1 Исходные данные

Имеются данные о выпуске промышленной продукции хлебозавода, (тонн).

1) Рассчитать показатели динамики цепным и базисным методом (1 год по месяцам), средние показатели динамики, средний уровень ряда. Выводы оформить письменно по всем показателям за ноябрь и декабрь месяцы.

2) Отобразить графически исходные данные двумя видами диаграмм, одна из них – радиальная (3 года по месяцам).

3) Рассчитать индексы сезонности, построить сезонную волну. Выводы по сезонной волне оформить письменно.

4) Провести сглаживание колеблемости в рядах динамики 3 методами.

3.2 Статистические показатели динамики

Для количественной оценки динамики социально – экономических явлений применяются статистические показатели: абсолютные темпы роста и прироста и т. д.

В основе расчета показателей рядов динамики лежит сравнение его уровней. В зависимости от применяемого способа сопоставления показатели динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения.

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными. Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Такие показатели называются цепными.

Абсолютный прирост – важнейший статистический показатель динамики, определяется в разностном соотношении, сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации. Бывает цепной и базисный:

1.             Базисный абсолютный прирост определяется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения :

2.             Цепной абсолютный прирост – разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует, : Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак, показывающий, насколько уровень изучаемого периода ниже базисного.

Между базисными и абсолютными приростами существует связь: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего ряда динамики :

Темп роста – распространенный статистический показатель динамики. Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

1.             Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за постоянную базу сравнения , по формуле:

2.             Цепные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень : Если темп роста больше единицы (или 100%) , то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным. Темп роста, равный единице (или 100%) , показывает, что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился. Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак.

Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

1.             Базисный темп прироста вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за постоянную базу сравнения :

2.             Цепной темп прироста -- это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню : = : Между показателями темпа роста и темпа прироста существует взаимосвязь, выраженная формулами: (%) = (%) -- 100  (при выражении темпа роста в процентах) .

= -- 1 (при выражении темпа роста в коэффициентах) .

Абсолютное значение одного процента прироста Ai . Этот показатель служит косвенной мерой базисного уровня. Представляет собой одну сотую часть базисного уровня, но одновременно представляет собой и отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста.

Данный показатель рассчитывают по формуле

Рассчитаем показатели динамики за 2009 год по месяцам:

По результатам расчета можно сделать выводы о росте выпуска продукции хлебозавода в 2009 году. В целом за год выпуск продукции увеличился на 359 тонн или на 68,38 %, что следует из рассчитанных базисного абсолютного прироста и темпа роста за декабрь.

В течение года уровни ряда, а, соответственно, и показатели динамики существенно колеблются. В ноябре 2009 года имеет место сокращение выпуска продукции на 78 тонн по сравнению  с октябрем, и на 186 тонн с начала года. Темп прироста в ноябре составил -18,71 % к октябрю, при на каждый процент снижения выпуска приходится 4,17 тонны. По отношению к началу года темп прироста в ноябре равен -35,43 %

В декабре 2009 года выпуск продукции существенно вырос: по сравнению с ноябрем на 545 тонн или 160,77%, на каждый процент прироста пришлось 3,39 тонны.

Для характеристики динамики изучаемого явления за продолжительный период рассчитывают группу средних показателей динамики. Можно выделить две категории показателей в этой группе: а) средние уровни ряда; б) средние показатели изменения уровней ряда.

В интервальном ряду средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической простой.

Средний уровень ряда 2009 год:

Средний абсолютный прирост рассчитывается как средняя арифметическая простая из абсолютных цепных приростов за отдельные периоды, т.е. сумма абсолютных цепных приростов делится на их количество:

                                  тонн

Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Средний темп роста исчисляется как средняя геометрическая:

где Тр1, Тр2, …, Трn – индивидуальные цепные темпы роста (в коэффициентах), n – число индивидуальных темпов роста.

Тр 2009 год = 1,049 или 104,9 %

Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость:

Тn = 1,049 – 1 = 0,049 или 4,9 %

Результаты расчета средних показателей ряда динамики свидетельствуют о том, что в 2009 году в среднем с января по декабрь хлебозавод выпускал 467,42 тонны продукции в месяц, а среднемесячный прирост выпуска продукции составлял 29,92 тонны или 4,9 %.

3.3 Графическое отображение исходных данных

Построим исходные данные о выпуске продукции хлебозавода за три года в виде диаграммы:

Также представим исходные данные о выпуске продукции хлебозавода за три года в виде радиальной диаграммы:

3.4 Сезонные колебания в рядах динамики

Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности.

Индекс сезонности можно рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период:

где - средняя для каждого месяца за 3 года;

- общий среднемесячный уровень за 3 года.

Составляем таблицу для расчета индексов сезонности

Расчет сезонных колебаний ряда динамики выпуска продукции хлебозавода

Расчеты индексов сезонности показывают, что максимальный рост выпуска продукции хлебозаводом приходится на ноябрь и сентябрь, в которых наблюдаются максимальные значения индекса. В августе индекс сезонности минимален.

3.5 Сглаживание колеблемости в рядах динамики

При изучении динамики любого из явлений, главной задачей анализа ставится выявление основной тенденции в развитии.

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1) Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .

Для помесячной динамики выпуска продукции характерны значительные колебания уровней, что затрудняет суждение о характере общей тенденции развития, поэтому укрупним интервалы для выявления тренда. Месячные уровни объединим в годовые.

В данном ряду после укрупнения интервалов не выявляется тенденция роста выпуска продукции за анализируемый период – в 2008 году происходит рост по сравнению с 2007 годом на 2947 тонн или на 165,5 %, в 2009 году по сравнению с 2008 выпуск снизился на 1837 тонн или 75 %. В целом за анализируемый период наблюдается рост выпуска продукции на 1110 тонн.

2) Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном это делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50%.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.

Скользящие средние для ряда динамики месячных уровней составим из двенадцатичленных звеньев. Их расчет состоит в определении средних величин из двенадцати уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа:

                                               и т.д.

Для четного числа уровней каждое значение скользящей средней приходится на промежуток между двумя смежными кварталами. Для определения сглаженных уровней произведем центрирование, рассчитывая простую среднюю арифметическую из двух рядом лежащих скользящих средних.

Нанесем полученные значения на график с эмпирическими данными.

3) Важнейшим способом количественного выражения общей тенденции изменения уровней динамического ряда является аналитическое выравнивание ряда динамики, которое позволяет получить описание плавной линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями, которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение рассматривается как функция времени.

В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели, выраженной формулой: , где f (t) – уровень, определяемый тенденцией развития ; -- случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f (t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f (t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.

Наиболее простой формой зависимости может служить линейная, выражающаяся уравнением:

yt = a0 + a1t,

где a0, a1 - параметры уравнения, t - обозначение времени.

При выравнивании ряда по прямой для нахождения параметров прямой решается система нормальных уравнений вида

;

.

При ручной обработке для упрощения счета при выравнивании динамических рядов условное обозначение временных точек (t) можно вести так, чтобы . В этом случае системы нормальных уравнений значительно упрощаются.

Так, при выравнивании по прямой система будет иметь вид:

 

При выравнивании по параболе второго порядка (если ) система имеет следующий вид:

Для определения параметров моделей для 2009 года составим матрицу:

По итоговым данным таблицы определяем параметры уравнения линейной функции:

На основе вычисленных параметров синтезируем трендовую модель: yt = 467,42 + 18,88t

Нанесем полученный сглаженный ряд на график с эмпирическими данными.

Определяем параметры функции параболы второго порядка:

На основе вычисленных параметров синтезируем трендовую модель: yt = 409,07 + 18,88t + 3,85t2

Нанесем полученный сглаженный ряд на график с эмпирическими данными.

Для решения вопроса, какая из этих моделей является наиболее адекватной, сравниваются их стандартизованные ошибки аппроксимации. Для ее определения составим матрицы расчетных значений.

Для прямолинейной функции:

Ошибка аппроксимации равна:

Для параболы второго порядка:

Ошибка аппроксимации равна:

Ошибка аппроксимации для параболы незначительно ниже – 206,33 против 211,61 в линейной модели. Таким образом, по сравнению с линейной моделью парабола более пригодна для описания анализируемой динамики.

Литература

1.      Архангельский В.Н. Факторы рождаемости. – Москва: ТЕИС, 2006 г

2.      Борисов В. А. Демография. Учебник для вузов. – Москва: NOTA BENE Медиа Трейд Компания. 2005 г

3.      Демография и статистика населения. Под ред. Елисеевой. И.И. -  Москва: Финансы и статистика, 2006 г

4.      Елисеева И.И., Юзбашев М.М., Общая теория статистики. – М: Финансы и статистика, 2004 г

5.      Иванов Ю.Н. Экономическая статистика. Учебник. – М: ИНФРА-М, 2004 г

6.      Курс социально-экономической статистики: Учебник. 8-е изд., испр. Под ред. Назарова М.Г. – М: Омега-Л, 2010 г.

7.      Матегорина Н.М. Экономическая статистика. Учебное пособие для ссузов. – М: Феникс, 2007 г

8.      Мелкумов Я.С. Социально-экономическая статистика. – М: Инфра-М, 2010 г

9.      Мхитарян В.С.Статистика. – М: Academia, 2010 г

10. Ниворожкина Л.И. Статистика: Учебник для бакалавров. – М: Дашков и К, 2010 г.

11. Плохотников К.Э. Статистика. - 3-е изд – М: Флинта, 2010 г.

12. Тарновская Л.И. Статистика. - М: Academia, 2008 г

13. Теория статистики. Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. под ред. Громыко Г. Л. - М: ИНФРА-М, 2009 г

14. Толстик Н.В., Матегорина Н.М. Статистика: учебник. 6-е изд., доп.и перераб.  – М: Феникс, 2010 г.

15. Шерстнева Г.С. Социальная статистика. – М: Эксмо, 2009 г.