Виды средних величин в статистике

Виды средних величин.

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

где

k – показатель степени средней;

x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

i –i-тый элемент совокупности;

n – число наблюдений (число единиц совокупности).

При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1):

Таблица  SEQ Таблица * ARABIC 1

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике. Для этого введем следующие понятия и обозначения:

Признак, по которому находится средняя, называемый осредняемым признаком, обозначим буквой "х"

Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака  и обозначаются через x1, x2, x3 и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через "   " .

1.2.1 Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х (

Например, имеются следующие данные о продаже путевок менеджерами турфирмы  за неделю:

В данном примере варьирующий признак – продажа путевок за неделю.

Численные значения признака (16,  17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю продажу путевок менеджерами за неделю:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях,  когда имеются отдельные значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены  в  виде  рядов распределения или группировок,  то средняя исчисляется иначе.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формулеfi - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

Статистический материал в результате обработки может быть  представлен не только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения xi, а количество единиц совокупности в каждой группе fi (таблица 2).

Таблица  SEQ Таблица * ARABIC 2

Средний возраст рабочих турфирмы будет равен

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения  признака х в n раз величина средней арифметической не изменится.

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений  признака  может  быть вынесен за знак средней:

3. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то

5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

1.2.2 Средняя гармоническая

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.[3] Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле

Например, группа менеджеров была занята разработкой одинаковых туров в течение 8-часового рабочего дня. Первый менеджер затратил на один тур 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одного тура.

На первый  взгляд  кажется,  что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  менеджер разработал только  по  одному туру.  Но в течение дня отдельными менеджерами было изготовлено различное число туров.  Для определения числа туров, изготовленных каждым менеджером, воспользуемся следующим соотношением:

                                                           все затраченное время

Среднее время, затраченное =  --------------------------------------

          на разработку одного                      число туров

тура

Число туров, изготовленных каждым менеджером, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на один тур. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одного тура, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Таким образом,  формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Средняя гармоническая взвешенная:

Mi=xi*fi  (по содержанию).

Например, необходимо определить средний курс продажи акций (таблица 3):

Таблица  SEQ Таблица * ARABIC 3

Средний курс продажи акций будет равен

1.2.3 Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени  из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила в анализе динамики среднего темпа роста.[4]

1.2.4 Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число.

Средняя квадратическая взвешенная:

где f-веса.

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:

где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная:

где f-веса.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Наиболее широко средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации[5].

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных).

1.2.5 Структурные средние.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле