Временной ряд

Временной ряд

 

временной ряд: случайные  данные, тренд, различные сглаживания 

В статистике, обработке  сигналов и многих других областях под временным рядом понимаются последовательно измеренные через некоторые (зачастую равные) промежутки времени данные. Анализ временных рядов объединяет методы изучения временных рядов, как пытающиеся понять природу точек данных (откуда они взялись? что их породило?), так и пытающиеся построить прогноз. Прогнозирование временных рядов заключается в построении модели для предсказания будущих событий основываясь на известных событий прошлого, предсказания будущих данных до того как они будут измерены. Типичный пример — предсказание цены открытия биржи основываясь на предыдущей её деятельности.  

Понятие анализ временных  рядов используется для того, чтобы  отделить эту задачу от в первую очередь от более простых задач анализа данных (когда нет естественного порядка поступления наблюдений) и, во-вторых, от анализа пространственных данных, в котором наблюдения зачастую связаны с географическим положением. Модель временного ряда в общем смысле отражает идею, что близкие во времени наблюдения будут теснее связаны, чем удалённые. Кроме того, модели временных рядов зачастую используют однонаправленный порядок по времени в том смысле, что значения в ряду выражаются в некотором виде через прошлые значения, а не через последующие (см. обратимость времени).  

Методы анализа  временных рядов зачастую делят  на два класса: анализ в частотной  области и анализ во временной  области. Первый основывается на спектральном анализе и с недавних пор вейвлетном анализе, и может рассматриваться  в качестве не использующих модели методов анализа, хорошо подходящих для исследований на этапе разведки. Методы анализа во временной области  также имеют безмодельное подмножество, состоящее из кросс-корреляционного анализа и автокорреляционного анализа, но именно здесь появляются частично и полностью определённые модели временных рядов. Содержание [убрать]

1 Анализ временных  рядов 

1.1 Общее исследование

1.2 Описание

1.3 Прогнозирование  и предсказание

2 Модели временных  рядов 

2.1 Обозначения

2.2 Предположения

2.3 Модели

3 См. также

4 Ссылки

5 Литература 

Анализ временных  рядов 

Существует несколько  методов анализа данных, применимых для временных рядов.

Общее исследование

Визуальное изучение графических представлений временных  рядов 

Автокорреляционный  анализ для изучения зависимостей

Спектральный анализ для изучения циклического поведения, не связанного с сезонностью 

Описание

Разделение компонент: тренд, сезонность, медленно и быстро меняющиеся компоненты, циклическая  нерегулярность

Простейшие свойства частных распределений 

Прогнозирование и  предсказание

Полноценные статистические модели при стохастическом моделировании  для создания альтернативных версий временных рядов, показывающих, что  могло бы случиться на произвольных отрезках времени в будущем (предсказание)

Упрощённые или  поноценные статистические модели для  описания вероятные значения временного ряда в ближайшем будущем при  известных последних значениях (прогноз)

Модели временных  рядов 

Как показано Боксом и Дженкинсом, модели временных рядов  могут иметь различные формы  и представлять различные стохастические процессы. При моделировании изменений  уровня процесса можно выделить три  широких класса имеющих практическую ценность: авторегрессионые модели, интегральные модели и модели скользящего среднего. Эти три класса линейно зависят  от предшествующих данных. На их основе построены модели авторегрессионного скользящего среднего (Autoregressive Moving Average, ARMA) и авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (Autoregressive Integrated Moving Average, ARIMA). Эти модели в свою очередь  обобщает модель авторегрессионного дробноинтегрированного скользящего среднего (autoregressive fractionally integrated moving average, ARFIMA). Расширения моделей  на случаи, когда данные представляются не скалярно, а векторно, называют моделями многомерных временных рядов. Для таких моделей в сокращённых названиях появляется буква «v» от слова «vector». Существуют расширения моделей на случай, когда исследуемый временной ряд является ведомым для некоторого «вынуждающего» ряда (который, однако, может не быть причиной возникновения исследуемого ряда). Отличие от многомерного ряда заключается в том, что вынуждающий ряд может быть детерминированным или управляться исследователем, проводящим эксперимент. Для таких моделей в сокращении появляется буква «x» от «exogenous» (экзогенный, вызываемый внешними причинами).  

Нелинейная зависимость  уровня ряда от предыдущих точек интересна, отчасти из-за возможности генерации  хаотических временных рядов. Но главным всё же является то, что  опытные исследования указывают  на превосходство прогнозов, полученных от нелинейных модлей, над прогнозами линейных моделей.  

Среди прочих типов  нелинейных моделей временных рядов  можно выделить модели, описывающие  изменения диспресии ряда со временем (гетероскедатичность). Такиме модели называют моделями авторегрессионной  условной гетероскедастичности (AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, ARCH). К инм относится  большое количество моделей: GARCH, TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH и др. В этих моделях  изменения дисперсии связывают  с ближайшими предшествующими данными. Протевовесом такому подходу является представление локально изменчивой дисперсии, при котором дисперсия  может быть смоделирована зависящей  от отдельного менющегося со временем процесса, как в бистохастических моделях.  

В последнее время  знчительное внимание снискали исследования в области безмодельного анализа  и методы, основанные на вейвлетных преобразованиях (например локально стационарные вейвлеты) в частности. Методы многомасштабного анализа разлагают заданный временной ряд на составные части, чтобы показать зависимость от времени с разным масштабом.

Обозначения 

Существует большое  число вариантов обозначения  временных рядов. Одним из типичных является , обозначающее ряд с натуральными индексами. Другое стандартное представление: 

Предположения 

Существуют две  группы предположений, в условиях которых  строится большинство теорий:

Стационарность процесса

Эргодичность  

Идея стационарности трактуется в широком смысле, охватывая  две основных идеи: строгая стационарность и стационарность ворого порядка (стационарность в широком смысле). На основании  этих предложений могут быть построены  и модели, и приложения, хотя модели в дальнейшем могут рассматриваться  как частично заданные.  

Анализ временного ряда может проводиться и когда  ряд сезонно стацонарен или нестационарен.

Модели 

Общий вид авторегрессивной модели задаётся следующим образом:

,  

где  — источник случайность, белый шум. Белый шум  имеет следующие свойства:

 

 

  

В этих предположениях процесс определён вплоть до моментов второго порядка и, при определённых условиях на коэффициенты, может быть стационарным в широком смысле.  

Если шумы имеют  нормальное распределение, их называют нормальным белым шумом. В этом случае авторегрессионный процесс может  быть строго стационрен, опять же, при  выполенении некоторых условий  на коэффициенты.

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ  ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Турунцева М.  

1.2. Прогнозирование  с использованием моделей 

временных рядов  

Прогнозирование с  использованием моделей временных  рядов является одним из наиболее простых и распространенных способов прогнозирования социально-экономических  показателей. Напомним, что в данном случае под прогнозом  (или ), полученным в момент времени Т на h шагов вперед (h>0), понимается условное математическое ожидание значения при наличии информации о данном временном ряде (и только о нем) на момент времени Т, т.е.

  

где - множество всех имеющихся известных значений временного ряда на момент времени Т.

Прогнозы, полученные таким способом, с одной стороны, являются условно несмещенными, а  с другой - обладают наименьшей среднеквадратичной ошибкой прогнозирования - MSFE (Mean Square Forecast Error) - в классе прогнозов, построенных  только на основе информационного множества .

Прогнозы, полученные как условное математическое ожидание временного ряда при известных прошлых  значениях этого ряда, обладают различными свойствами в зависимости от статистических характеристик временного ряда. Можно  показать, что если временной ряд  является стационарным в широком  смысле (т.е. его безусловные математическое ожидание и дисперсия, а также  ковариации различных порядков являются конечными и не зависят от времени), то прогноз, рассчитанный в момент времени Т на h шагов вперед, стремится к его безусловному математическому ожиданию при увеличении горизонта прогнозирования h, иными словами, к ситуации, когда h стремится к бесконечности. При этом дисперсия ошибки прогнозирования8 сходится к безусловной дисперсии временного ряда при h, стремящемся к бесконечности.  
 

Аналогичными свойствами обладают прогнозы временных рядов, являющихся стационарными относительно детерминированного тренда. Различие состоит лишь в том, что в этом случае безусловное математическое ожидание не является конечным и не зависящим от времени, а прямо  зависит от характеристик детерминированного тренда и, соответственно стремится  к бесконечности при увеличении горизонта прогнозирования.  

Таким образом, если временной ряд является стационарным в широком смысле (или стационарным относительно детерминированного тренда), то прогнозы, полученные с использованием адекватной модели временных рядов, являются устойчивыми с точки  зрения сходимости последовательностей как самих прогнозов, так и их ошибок (точнее, дисперсий ошибок прогнозирования) к некоторым константам.  

Если же временной  ряд является интегрированным случайным  процессом любого порядка, то, во-первых, прогноз для такого ряда зависит  от значения временного ряда в момент прогнозирования и не имеет конечного  предела при увеличении горизонта  прогнозирования, а, во-вторых, дисперсия  ошибки прогнозирования стремится  к бесконечности при увеличении горизонта прогнозирования, т.е. в  отличие от стационарного случая ошибки прогнозирования накапливаются9 при стремлении h к бесконечности. Иными словами, точность прогноза, получаемого для нестационарного временного ряда, снижается при увеличении горизонта прогнозирования.  

Известно, что проблему наличия единичных корней у временных  рядов можно решать несколькими  способами. Применительно к вопросу  о качестве получаемых прогнозов  можно сказать, что предварительное  тестирование рядов на наличие единичных  корней и последующее построение моделей в разностях позволяют  улучшить качество прогнозов.  

Ещеодним способом решения проблемы наличия стохастического  тренда в данных (но уже многомерных  временных рядов) является оценка так  называемых моделей коррекции ошибок, в которые включаются не только разности нестационарных рядов, но и (если они  существуют) запаздывающие на один шаг их стационарные линейные комбинации, отражающие долгосрочные связи между  переменными и с этой точки  зрения являющиеся более предпочтительными по сравнению с моделями в разностях, которые отражают лишь краткосрочную динамику ряда.  

Кроме того, использование  моделей многомерных временных  рядов может улучшить качество прогнозов  и в случае, когда многомерный  временной ряд является стационарным. Обоснование этой гипотезы стандартное: привлечение информации о причинных  связях должно повлечь за собой улучшение  качества прогнозов. Стандартные модели, которые используются в такой  ситуации, - это модели векторной  авторегрессии порядка p (VAR(р)).  

Как и в случае одномерного временного ряда, под  прогнозом  понимается условное математическое ожидание значения  при наличии  информации о данном временном ряде (и только о нем) на момент времени  Т. Различие заключается в том, что  в данном случае  - это многомерный  временной ряд.