Закон "больших чисел". Теорема Бернулли

 

Оглавление

 

 

Введение 2

Закон "больших  чисел". Теорема Бернулли 3

Заключение 8

Библиографический список 9

 

 

Введение

 

Для решения многих практических задач  необходимо знать комплекс условий, благодаря которому результат совокупного  воздействия большого количества случайных  факторов почти не зависит от случая. Данные условия описаны в нескольких теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Простейшая форма закона больших  чисел - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события  одинакова во всех испытаниях, то с  увеличением числа испытаний  частота события стремится к  вероятности события и перестает  быть случайной.

 

Закон "больших  чисел". Теорема Бернулли

 

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном  повторении испытаний наблюдаются  закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая  серия однотипных опытов. Исход каждого  отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии  опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно  знание условий, при выполнении которых  совокупное действие очень многих случайных  причин приводит к результату, почти  не зависящему от случая, так как  позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются  в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях  теории вероятностей. Свойство случайных  величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при  неоднократном повторении испытаний  могут наблюдаться определенные закономерности. Эти закономерности, свойственные массовым случайным явлениям, и изучает теория вероятностей. Следует отметить, что математические законы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных ситуаций, в которых наблюдаются случайные массовые явления.

При изучении результатов наблюдений над реальными  случайными массовыми явлениями  также имеют место некоторые закономерности. Следует обратить внимание на то, что они обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Неравенство Чебышева.

Если  случайная величина Х имеет конечные математическое ожидание М(Х) и дисперсию  Д(Х), то для любого положительного e справедливо неравенство

Данное неравенство имеет  большое теоретическое значение. С его помощью доказываются теоремы  и делаются теоретические выводы.

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе  независимых случайных величин  Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа  e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что  среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

Теорема Чебышева имеет большое  практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-либо параметр с  помощью прибора, не дающего систематической  погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра.

 

 

  Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли: Если вероятность события А в  каждом из п независимых испытаний  постоянна и равна р, то при  достаточно большом п для произвольного e >0 справедливо неравенство

Таким образом, получается:

Теорема Бернулли устанавливает  связь между вероятностью появления  события и его относительной  частотой появления и позволяет  при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в п испытаниях. Из теоремы видно, что отношение т/п обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Теорема Муавра- Лапласа.

Формулировка теоремы  рассмотрена ранее.

Данная  теорема  описывает переход от биноминального распределения к нормальному  при неограниченном росте числа  испытаний n. Теорема позволяет вычислить вероятность попадания СВ в интервал и вероятность отклонения по абсолютной величине случайной величины от своего математического ожидания:

 

Заключение

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

При неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Закон "больших чисел" объединяет совокупность теорем, которые формулируют условия, при которых большое количество случайных величин (например, их сумма) утрачивают случайный характер и приобретают определённую закономерность. На практике отмечено, что конкретные особенности каждого отдельного явления не сказываются на усредненном результате массы таких явлений.

Случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе явлений взаимно погашаются.

Свойство устойчивости массовых явлений, отмеченное на практике, стало  предметом теоретических исследований. Результатом исследований стало  доказательство ряда теорем. К их числу  относятся теорема и неравенство  Чебышева, теорема Бернулли.

Библиографический список

 

1. ГМУРМАН В. Е. "Теория вероятностей и математическая статистика" - М., Высш.шк., 2003
2. www.ru.wikipedia.org  
3. www.lib.ru