Анализ линейной электрической цепи

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение………………………………………………………………………..3

Решение задания  №1…………………………………………………………..5

Решение задания  №2…………………………………………………………..11

Заключение…………………………………………………………………….13

Список используемой литературы…………………………………………...14

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Законы  Кирхгофа (или правила Кирхгофа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного и квазистационарного тока. Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач теории электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи.

Для формулировки законов Кирхгофа, в электрической  цепи выделяются узлы — точки соединения трёх и более проводников и контуры — замкнутые пути из проводников. При этом каждый проводникможет входить в несколько контуров.

В этом случае законы формулируются следующим образом.

Первый  закон

Первый закон  Кирхгофа (Закон токов Кирхгофа, ЗТК) гласит, что алгебраическая сумма  токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов  берутся с обратным знаком):

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Данный закон следует из закона сохранения заряда. Если цепь содержит p узлов, то она описывается p − 1 уравнениями токов. Этот закон может применяться и для других физических явлений (к примеру, водяные трубы), где есть закон сохранения величины и поток этой величины.

Второй  закон

Второй закон  Кирхгофа (Закон напряжений Кирхгофа, ЗНК) гласит, что алгебраическая сумма  падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю:

для постоянных напряжений

 

для переменных напряжений

Иными словами, при обходе цепи по контуру, потенциал, изменяясь, возвращается к исходному  значению. Если цепь содержит ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве , то она описывается уравнениями напряжений. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

 

 

Задание №1.

Для указанной  схемы определить токи в каждой ветви, составить баланс мощностей, построить  потенциальную диаграмму для  контура, содержащего не менее двух ЭДС.

Исходные данные

R1=0,1Ом; R11=3Ом; R4=1,5Ом; R5=2Ом; R6=2,5Ом; R9=3Ом; R10=3Ом; R3=0,1Ом; E1=230В; E3=210В.

 

Решаем задачу согласно законов Кирхгофа:

Решение

Запишем первый закон Кирхгофа для узлов 1,2:

 

I1+I2+I3=0

 

Запишем второй закон Кирхгофа для контуров 1,2

 

I2·R11-I1·R1=E1

I3·(R4+R5+R6+R9+R10+R3)-I2·R11=-E3

 

Получаем систему уравнений:

 

I1+I2+I3=0

-0,1I1+3I2=230

-3I2+12,1I3=-210

 

Решаем данную систему  при помощи MathCad 14, получаем значения токов:

 

I1=-75,192 А

 

I2=74,160 А

 

I3=1,031 А

 

Решаем задачу согласно метода контурных токов:

Решение.

 

Составляем  систему уравнений по методу контурных  токов:

 

I11·R11+I22·R12=E11

I11·R21+I22·R22=E22, где:     

 

R11=R11+R1=3,1 Ом

R12=-R11=-3 Ом

R21=-R11=-3 Ом

R22=R4+R5+R6+R9+R10+R3+R11=15,1 Ом

E11= E1=230 В

E22= -E3=-210 В

 

Подставляем численные  данные в систему уравнений и  решаем данную систему с помощью MathCad 14:

 

3,1I11-3I22=230

-3I11+15,1I22=-210

 

Решение:

I11=75,19175

I22=1,031473

 

Отсюда:

 

I1=-I11=-75,191748 А

I2= I11-I22=74,160275 А

I3= I22=1,0314732 А

 

Решаем данную схему согласно метода узловых потенциалов:

 

Узел 2 принимаем  базисным.

Решение

 

Согласно метода узловых потенциалов(метода двух узлов):

j1·G11=I11

 

Суммарная проводимость узла:

 

G11=1/R1+1/R11+1/(R4+R5+R6+R9+R10+R3)=10,416 См

 

Отсюда ток:

 

I11=E1/R1+E3/(R4+R5+R6+R9+R10+R3)=2317,36 А

 

Тогда:

 

10,416 j1=2317,4

 

j1=222,48 В

j2=0

 

Определяем  токи в ветвях:

 

I1=(j1-j2-E1)/R1=-75,1917 А

I2=(j1-j2)/R11=74,1603 А

I3=(j1-j2-E3)/(R4+R5+R6+R9+R10+R3)=1,03147 А

Методом эквивалентного генератора определяем ток  I3:

Для этого размыкаем  ветвь его, содержащий:

Получаем:

Данные, полученные всеми методами свидетельствуют  о правильности решения задачи

 

Баланс мощностей совпадает:

I²₁·R₁+I²₂·R₁₁+I²₃·R₄+I²₃·R₅+I²₃·R₆+I²₃·R₃+I²₃·R₁₀+I²₃·R₉=565,38+16499,2+1,59591+2,12787+2,65984+0,106394+3,19181+3,19181=17077,5 Вт

 

E₁·I₁+E₃·I₃=17294,1+-216,609=17077,5 Вт

 

Строим потенциальную  диаграмму для внешнего контура:

 

 

Данные, полученные при помощи программы EWB 5.2, практически совпадают с полученными нами ранее данными:

 

Задание №2. Для электрической схемы:

1. Рассчитать комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом узловых потенциалов;
2. Построить топографическую диаграмму комплексных потенциалов точек схемы, совмещенную с векторной диаграммой токов
3. Составить баланс мощностей.

 

Исходные данные

R2=54Ом; L1=0,073Гн; L3=0,038Гн; С1=34мкФ; С2=14мкФ; С3=68мкФ; E1=226,5+j39,94 В;E3=244,2+j141 В;

 

Решаем задачу методом узловых потенциалов (двух узлов):

j1·Y11=I11

 

Рассчитаем сопротивления ветвей:

Z1=j·(w·L1-1/(w·C1))=j·(314,2·0,073-1/(314,2·34·10^-6))=-j70,69 Ом

Z2=R2+j·-1/(w·C2)=54+j·-1/(314,2·14·10^-6)=54-j227,4 Ом

Z3=j·(w·L3-1/(w·C3))=j·(314,2·0,038-1/(314,2·68·10^-6))=-j34,87 Ом

 

Собственная проводимость узла:

 

Y11=1/Z1+1/Z2+1/Z3=0,0009888+j0,04699 См

 

Рассчитаем  узловые токи:

 

I11=E1/Z1+E3/Z3=(226,5+j39,94)/(-j70,69)+(244,2+j141)/(-j34,87)=-4,608+j10,21 А

 

Находим потенциал  узла 1:

 

(0,0009888+j0,04699)·j₁=-4,608+j10,2

j₁=215,1+j102,6 В

j₂=0

 

По найденному потенциалу определяем токи в ветвях:

 

I1=(j1-j2+-E1)/Z1=-0,8865-j0,1615 А

I2=(j1-j2)/Z2=-0,2145+j0,9969 А

I3=(j1-j2+-E3)/Z3=1,101-j0,8354 А

 

Рассчитываем  баланс активных и реактивных мощностей:

 

-|I|²₁·j/(wC·₁)+|I|²₁·j·wL₁-|I|²₂·j/(wC·₂)+|I|²₂·R₂-|I|²₃·j/(wC·₃)+|I|²₃·j·wL₃=-j84,47+j16,76-j262,7+56,16-j99,35+j20,52=56,16-j409,2 В*А

 

(Re(I₁)-j·Im(I₁))·(-E₁)+(Re(I₃)-j·Im(I₃))·(-E₃)=207,3-j1,183+-151,1-j408,1=56,16-j360,4 В*А

 

Строим диаграмму  напряжений и токов:

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

В ходе проделанной  работы были решены задачи на расчет электрических цепей постоянного и синусоидального тока различными методами. Результаты были проверены в программе electronics workbench 5.2.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей. М., 1975
2. Татур Г.А. Основы теории электрических цепей. М., 1980
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: электрические цепи. М., 1984