Статикат, динамика , кинематика

Контрольное задание  С-1

Жесткая изогнутая балка  с консольным участком установлена  на двух опорах А и В. Опора А - это неподвижный шарнир; Опора В - подвижный шарнир на катках.

На балку действует  пара сил с моментом М=100 Нм; равномерно распределенная нагрузка q₁ =15Н/м, сила F₄, приложенная в точке К на конце консоли и сила F₁, приложенная в точке D. Расстояние l=0,5 м. Определить реакции в опорах А и В.

Рисунок 1.1

Дано: М = 100 Н·м, F₁ = 10 Н, F₄ = 40 Н, а = 0,5 м, α₁=60º, α₄=60º; q = 15 Н/м, l=0,5 м

Определить: реакции в точках А  и В, вызываемые заданными нагрузками.

Решение:

Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси х,y и изобразим действующие на раму силы: силы , , распределенную нагрузку q, пару сил с моментом М и реакции связей , и (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках  В направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Рисунок 1

Для полученной плоской  системы сил составим три уравнения  равновесия. При вычислении момента  силы относительно точки А воспользуемся  теоремой Вариньона, т. е. разложим силы и на составляющие , и , ( , , , ) и учтем, что и

Получим:

            (1)

       (2)

    (3)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Из уравнения (3) выразим R_B

Из уравнения (2) выразим Y_A

Из уравнения (1) выразим Х_A

Ответ: , , ,  знаки минус указывают на то, что действительные направления сил противоположны показанным на рисунке.

 

 

Контрольное задание С-2

Массивная однородная прямоугольная плита весом закреплена в трех точках: в т. А - сферическим шарниром; в т. В цилиндрическим шарниром; невесомым стержнем СС' в т. С. Размеры плиты: длина – 2l, ширина -l, толщина - 0,2l.

В точке Е приложена сила , в точке К приложена сила . Точки находятся в углах или серединах соответствующих сторон плиты. На плиту действуют пара сил с моментом М. Момент М = 8 Н∙м; Р = 20 Н; l = 1м. Определить реакции в шарнирах А, В и в стержне СС'.

Дано: F₃ = 30 Н; F₄ = 40 Н; α₃ = 30°; α₄ = 0°; М = 8 Н∙м; Р = 20 Н; l = 1м

Рисунок 2.1.

 

Решение:

Решение: Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют:

а) Активные силы Р, F₃ , F₄ и пара сил, момент которой М;

б) реакции связей: реакцию сферического шарнира А разложим на три  составляющие Х_А, Y_А, Z_A, цилиндрического шарнира В – на две составляющие Х_В, Z_В, реакцию N стержня направляем вдоль стержня СС’ предполагая что он растянут.

Рисунок 2.2

Для определения шести  неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия:

             (1)

         (2)

       (3)

        (4)

      (5)

       (6)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин

и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Из уравнения (6) выразим  Х_B

 

Из уравнения (5) выразим N

Из уравнения (4) выразим Z_B

Из уравнения (3) выразим Z_A

Из уравнения (2) выразим Y_A

Из уравнения (1) выразим X_A

Ответ: , , , , , ,  знаки минус указывают на то, что действительные направления реакций противоположны показанным на рисунке.

 

 

 

Контрольное задание К-1

Точка С движется по плоскости  хОу. Замой движения точки С задан двумя уравнениями (координатный способ задания движения точки):

;

Где х и у выражены в сантиметрах, t - в секундах.

Определить уравнение  траектории точки С, определить скорость, ускорение точки С, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в точке С для момента времени t₁ = 1 с и все изобразить графически.

Дано: ; ; t₁ = 1

Решение:

Для определения уравнения  траектории точки исключим из заданных уравнений движения время .

Из уравнения    выразим величину

Из уравнения    выразим величину

Согласно тригонометрической формуле:

 

Отсюда

- траектория движения точки  В. 

Данная траектория является эллипсом с центром в точке (0;0) и с полуосями равными 6 и 8 соответственно.

Изобразим траекторию движения точки на рисунке 3.1.

Определим координаты точки  при t₁ = 1 c

Изобразим положения  точки В в момент времени t₁ = 1 c на рисунке 3.1.

Скорость точки найдем по ее проекциям на оси координат:

при t₁ = 1 c имеем

Рисунок 3.1.

 Аналогично найдем  ускорение точки

при t₁ = 1 c имеем

Касательное ускорение  найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

откуда

при t₁ = 1 c имеем

 

Нормальное ускорение  точки

при t₁ = 1 c имеем

 

Радиус кривизны траектории

при t₁ = 1 c имеем

Ответ: ; ; ; ; ;

 

 

 

Контрольное задание К-2

Плоский механизм состоит из четырех стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В. Все стержни и ползуны соединены с помощью плоских шарниров А, В, D, Е, а стержни 1 и 4, называемые кривошипами, соединены с неподвижно закрепленными на основании конструкции плоскими шарнирами О₁ и О₂. Кривошипы 1 и 4 совершают вращательные движения вокруг шарниров О₁ и О₂ соответственно. Ползун - это тело, движущееся прямолинейно вперед и назад по направляющей - цилиндрической или профильной рейке. Функция ползуна аналогична функции поршня - тела, находящегося внутри направляющего канала, например, цилиндрического профиля. Шатуны 2 и 3 участвуют в плоском движении, то есть движутся поступательно и, одновременно, вращательно. Длины стержней: l₁ = 0,3 м; l₂ = 1,2 м; l₃ = 1,5 м; l₄ = 0,5 м. На рис. 4.1 углы α, β, γ, φ, θ определяют конкретные положения механизмов для каждого задания. Построение механизма следует начинать со звена, определяемого углом α и далее в последовательности, указанной стрелками углов α, β, γ, φ, θ. Если угловые скорости ω₁ или ω₂ указаны со знаком минус (-), то вращение ведущего кривошипа 1 или 4 следует считать происходящим по часовой стрелке, и наоборот, если ω₁ или ω₂ со знаком плюс (+), то - против часовой стрелки. Если известна скорость ползуна В, то на схеме ее следует направить от точки В по направляющей к точке b.

Врезанные шарниры D расположены строго в середине соответствующего стержня. Построение механизма рекомендуется выполнять в масштабе 1:200 (то есть на чертеже l₁ = 0,3 м представлена отрезком 1,5 см: l₁ = 1,2 м - 6 см и т.д.).

Дано: α = 90°; β = 120°; γ = 120°; φ = 90°; θ = 60°; ω₄ = 2 1/с; l₁ = 0,3 м; l₂ = 1,2 м; l₃ = 1,5 м; l₄ = 0,5 м

Рисунок 4.1

Найти: V_В - ?; V_E - ?; ω₂ - ?

Решение:

Строим положение механизма  в соответствии с заданными углами.

Определяем V_В Точка В принадлежит стержню ВЕ. Чтобы найти v_В надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление. По данным задачи можем определить скорость точки Е:

Скорость точки Е будет направлена перпендикулярно стержню 4 и совпадать, по направлению, с направлением угловой скорости этого стержня.

Направление V_В найдем, учтя, что точка D принадлежит одновременно ползуну В, движущемуся вдоль прямой Вb. Теперь, зная V_E и направление V_B, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня BE) на прямую, соединяющую эти точки (прямая BE). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор V_B (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

Рисунок 4.2

Определяем ω₂. Для этого, зная направление V_A ( ) и V_B построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это точка С₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к V_А и V_B, восставленных из точек А и В. По направлению вектора V_B определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₂.

Чтобы вычислить С₂B, заметим, что треугольник АС₂B — прямоугольный, тогда . В результате имеем

Ответ: ; ; .

 

 

Контрольное задание Д-1

Тело D массой m движется по изогнутой трубе АВС. Участок АВ наклонный ( ); участок ВС наклонен к горизонту под углом 30°. В точке А тело D получает начальную скорость V₀ = V_0A.

На участке АВ на тело действуют кроме силы тяжести, постоянная сила и сила трения . Далее тело D переходит на участок ВС, где на него также действует сила трения , сила тяжести , сила - переменная сила, проекция которой на оси х F_х, задана.

Считая тело D материальной точной, определить закон движения тела D на участке ВС, т.е. х = f (t).

Дано: m = 5 кг; V_0A = 22 м/с; Q = 25 Н; t = 4 с; F_х = 8cos(3t)

Рисунок 5.1.

Решение:

1. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 1.2) и действующие на него силы , ,

2. Запишем второй закон Ньютона применительно к данной задаче:

 или      (1)

3. Проведем ось Ax₁, совпадающую с направлением движения груза и с началом координат в точке А. из которой начинается движение.

4. Запишем векторное выражение (1) в проекции на проведенную ось Аx₁:

    (2)

С учетом того, что  , , , , Проекция силы трения скольжения определится виде , где . Для нахождения N спроектируем векторное выражение (1) на ось Ay₁ Так как , получим , откуда . Следовательно, , уравнение (2) примет вид:

   (3)

 

Рисунок 5.2

5. Проинтегрируем дифференциальное  уравнение (3) методом разделения  переменных, умножая его на  и применяя операцию неопределенного интегрирования к обеим частям уравнения:

       (4)

где введено обозначение

После вычисления интегралов в уравнении (4) получим:

        (5)

где - постоянная интегрирования

6. Для нахождения постоянной  интегрирования С₁ запишем начальные условия:

при   

(первое условие при рассмотрении движения груза на участке АВ использовать не будем).

7. Найдем постоянную  интегрирования  , для чего подставим в выражение (5) начальное значение времени и соответствующее ему в начальных условиях начальное значение скорости , получим: , откуда . Тогда выражение (5) примет вид:

       (6)

В момент времени  груз будет находится в точке В и соответственно его скорость будет равна , то есть

Рассмотрим движение груза на участке ВС трубы

1. Изображаем груз  в произвольном положении (рис. 5.2) и действующие на него силы , , ,

2. Запишем второй закон  Ньютона применительно к данной  задаче:

 или      (7)

3. Проведем ось Bx, совпадающую с направлением движения груза и с началом координат в точке B, из которой начинается движение.

4. Запишем векторное  выражение (7) в проекции на проведенную ось Bx:

     (8)

5. Преобразуем выражение (8). Для этого вычислим проекции сил на ось . Очевидно, что , , Проекция силы трения скольжения определится виде , где . Для нахождения N спроектируем векторное выражение (7) на ось Вy. Так как , получим , откуда . Следовательно, , кроме того и уравнение (8) примет вид:

 или   (9)

6. Проинтегрируем уравнение (9), умножив обе его части на , и получим

    (10)

Далее проинтегрируем уравнение (10). Учитывая, что  , перепишем его в виде: