Математична модель теплообмінника

Міністерство  освіти і науки  України

Національний  технічний університет  України «КПІ»

Кафедра автоматизації теплоенергетичних  процесів 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Розрахунково-графічна робота 

«Математична модель теплообмінника»

з курсу:

«Ідентифікація та моделювання процесів» 
 
 
 
 
 
 

Виконав: 

                                                                    

                                                               

                                                         Перевірив:

                                                                  
 
 
 
 
 
 
 
 

Київ 2010

Зміст

1. Введення..............................................................................................3 

2. Постановка завдання..........................................................................4 

3. Математична модель  апарату............................................................5 

4.Висновки................................................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введення

     Даний предмет вивчає об’єкти керування, їх взаємодію і узгодження дій. Об’єкт  керування – це частина технологічного процесу, яка з однієї сторони  обмежена планом, з іншої – датчиком.

     Задачі  керування, що розв’язуються в сучасних задачах технологічних процесів помітно відрізняються у часовому масштабі та технічному засобі автоматизації. Для опису об’єкту керування на прикладі структури керування енергією застосовують математичні моделі. Існує декілька підходів до розробки математичної моделі. В даній розрахунковій роботі ми застосовували аналітичний підхід, який оснований на певних фундаментальних співвідношеннях, які відображають закони енергії.

Основними етапами  розробки математичної моделі являються:

1. для всього об’єкта керування та його частин визначаються вхідні і вихідні змінні;
2. записуються рівняння збереження енергії та речовини для даного ТОУ;
3. виключаються проміжні змінні, що приймають участь в описі явищ, але не цікавлять дослідження; при цьому доводиться із довідкової літератури шукати співвідношення, яких не вистачає;

перехід до зручної  форми математичної моделі (складання  системи). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Постановка завдання.

Необхідно розробити  аналітичну математичну модель калорифера. Отриману модель необхідно привести до дискретного виду. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Математична  модель апарату.

     Математична модель теплообміну повинна зв’язувати температуру повітря на виході з  вхідними параметрами:   

   (1)

Приймемо, що теплообмінний  апарат містить 3 динамічних елемента:

1. Теплоносій із розподіленою вздовж температурою .
2. Трубчатка, із розподіленою вздовж труби температурою .
3. Повітряна суміш, що нагрівається в між трубному просторі з однаковою зосередженістю .

Втратами в навколишньому  середовищі(Н.С) знехтуємо.

Для отримання динамічної моделі розглянемо тепловий баланс кожного  з динамічних елементів.

Виділимо на відстані х від входу трубки нескінченно  малий об’єм  , що знаходиться на відрізку труби .

  (2)

. Складемо рівняння теплового балансу для цього об’єму в динаміці:

   (3)

- теплота, що приноситься в об’єм теплоносієм

   (4)

- теплота, що виноситься теплоносієм з об’єму

     (5)

- теплота, що проходить через елемент .

  (6)

  -  внутрішній периметр

  (7)  -  теплота, що акумулюється в цьому об’ємі.

Підставимо (4)-(7) в (3), спростимо і отримаємо:

   (8).

  (9)  - постійна часу.

Граничні умови:

  (10)

 Складаємо рівняння  для стінки труби.

   (11)

  (13)

 -  теплота, що передається від елементарної стінки труби, довжиною до міжтрубного простору.

   (14)

   (15)

Підставимо вирази (6), (14), (15) в (13).

  (16)

,де 

         ;  

Граничні умови:

  (17)

Складемо рівняння теплового балансу для повітряного  простору калорифера.

  (19)

 - периметр, що вноситься в газовий простір від трубчатки.

, де - кількість трубок, - довжина трубки.

 - теплота, що вноситься в газовий простір повітряною сумішшю.

  (21)

 - теплота, що виноситься із газового простора повітряною сумішшю.

    (22)

  (23)

Підставляємо (20)-(23) в (19) та отримуємо:

   (24)

,де

          

Рівняння (8), (16), (24) разом  із граничними та початковими умовами (9), (10), (17), (18) представляють динамічну  моделі теплового режиму калорифера:

  (25)

Для розв’язку представленої  системи рівнянь (25) на ЕОМ необхідно  привести її до дискретної форми.

Представимо в дискретній формі:

- крок за часовою  координатою 

- крок за просторовою координатою.

- порядкові номери  кроків.

Використаємо дискретну  форму змінних в , та та представимо в дискретній формі систему (25). 

 

, де  ;         ;           ;             ;           ;  ;        ;        ;        ;        ;         

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     5.Висновок

     

     В даній розрахунково-графічній роботі ми дослідили методи побудови математичних моделей, і  в результаті отримали аналітичну математичну модель теплообмінника на прикладі калорифера. Для обчислення на ЕОМ модель було дискретизовано.