Теория особенностей Уитни

 1.2. Теория особенностей  Уитни  

  В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу "Об отображениях плоскости на плоскость", заложившую основу новой математической теории - теории особенностей гладких отображений.

  Отображение поверхности на плоскость - это сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами (x1,x2) на поверхности, а точка плоскости координатами (у1,y2) на плоскости, то отображение задается парой функций y1=f1(x1,x2), y2=f2(x1,x2). Отображение называется гладким, если эти функции гладкие (т.е. дифференцируемые достаточное число раз, например многочлены).

  Отображения гладких поверхностей на плоскость  окружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел  ограничено гладкими поверхностями. Видимые контуры тел - это проекции ограничивающих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.

  Уитни заметил, что в случаях "общего положения" встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

  Примером особенности первого вида - она названа складской Уитни - является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора (Рис.1).    
 

   Рис.1                                     Рис.2   

  В подходящих координатах это отображение  задается формулами у1 = х1², у2 = х2. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего удивительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особенность, но практически никогда ее не замечаем.

  Эта вторая особенность названа сборкой  Уитни, и получается она при проектировании на плоскость поверхности, изображенной на рис.2. Эта поверхность задана формулой у1 = х1^3 + х1х2 в пространстве с координатами (х1,х2,уi) и проектируется на горизонтальную плоскость (х2,у1).

  Таким образом, отображение задается в  локальных координатах формулами  у1 = x1^3 + x1x2, у2 = х2.

  На  горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат, Эта кривая делитгоризонтальную плоскость на две части: меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируется три точки поверхности}, точки большей части - лишь по одному, точки кривой - по два, При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сливаются и исчезают (в этом месте особенность - складка), при подходе к острию сливаются все три про-образа.

  Уитни доказал, что сборка устойчива, т.е. всякое близкое отображение имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность (т. е. такуюособен-ность, что продеформированное отображение в подходящих координатах в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими записывалось исходное отображение в окрестности исходной точки). Уитни также доказал, что всякая особенность гладкого отображения поверхности на плоскость после подходящего малого шевеления рассыпается на складки и сборки.

  Таким образом, видимые контуры гладких  тел общего положения имеют точки возврата в местах, где проектирования имеют сборки и не имеют других особенностей: приглядевшись, мы можем найти эти точки возврата в чертах каждого лица или тела. Рассмотрим, например, поверхность гладкого тора (скажем, надутой шины). Тор обычно рисуют так, как это изображено на рис. 3.   
 

  Рис. 3                                            Рис. 4  

  Если  бы тор был прозрачным, мы увидели  бы видимый контур, изображенный на рис.4: соответствующее отображение тора на плоскость имеет четыре сборки. Таким образом, концы линии видимого контура на рис. 3 - это точки возврата, в этих точках линия видимого контура имеет полукубическую особенность.

  Прозрачный  тор редко где увидишь. Рассмотрим другое прозрачное тело - бутылку (предпочтительно из-под молока). На рис. 5 видны две точки сборки.   
 

  Рис.5   

  Покачивая бутылку, мы можем убедиться, что  сборка устойчива. Тем самым мы получаем убедительное экспериментальное подтверждение  теоремы Уитни.

  После основополагающей работы Уитни теория особенностей бурно развивалась, и  сейчас это одна из центральных областей математики, в которой перекрещиваются  пути, связывающие самые абстрактные  разделы математики (дифференциальную и алгебраическую геометрию и топологию, теорию групп, порожденных отражениями, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств и т.д.) с самыми прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия, геомет-рическая и волновая оптика и т. д.). К. Зиман предложил называтьсовокуп-ность теории особенностей и ее приложений - теорией катастроф.       
 

  1.3. Применение теории Уитни  

  Поскольку гладкие отображения встречаются  повсеместно, повсюду должны встречаться  и их особенности. А поскольку теория Уитни дает значительную информацию об особенностях отображений общего положения, можно попы-таться использовать эту информацию для изучения большого количества раз-нообразных явлений и процессов во всех областях естествознания. В этой простой идее и состоит вся сущность теории катастроф.

  В случае, когда отображение, о котором  идет речь, достаточно хорошо известно, имеется в виду более или менее  прямое применение математической теории особенностей к различным явлениям природы. Такое применение дей-ствительно приводит к полезным результатам, например в теории упругости и в геометрической оптике (теория особенностей каустик и волновых фронтов, о которых мы еще будем говорить дальше).

  Однако  в большинстве работ по теории катастроф речь идет о куда более спорной ситуации, когда не только неизвестно изучаемое отображение, но и само его существование весьма проблематично.

  Приложения  теории особенностей в этих ситуациях  носят характер спеку-ляций: чтобы дать о них представление, мы воспроизводим принадлежащий английскому математику К.Зиману пример спекулятивного применения теории Уитни и исследованию деятельности творческой личности.

  Будем характеризовать творческую личность (например, ученого) тремя параметрами, называемыми "техника", "увлеченность", "достижения".   
 

  Рис. 6

  По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает  поверхность в трехмерном пространстве с координатами, (Т, У, Д).

  Спроектируем  эту поверхность на плоскость (Т, У) вдоль оси Д. Для поверхности общего положения особенности - складки и сборки (по теореме Уитни). Утверждается, что сборка, расположенная так, как это изображено на Рис. б. Удовлетворительно описывает наблюдаемые явления.

  Действительно, посмотрим, как в этих предположениях будут меняться достижения ученого в зависимости от его техники и увлеченности. Если ув-леченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае достижения с ростом техники могут расти скачком (такой скачок будет, например, если техника и увлеченность меняются вдоль кривой 1 на рис. б в точке 2). Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем, обозначена на рис. 6 словом "гении".

  С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соответствующим  ростом техники, приводит к катастрофе (на кривой 8 в точке 4, рис. 6), при которой  достижения скачком падают, и мы попадаем в область, обозначенную на рис. б словом "маньяки". Поучительно, что скачки из состояния "гений" в состояние "маньяк" и обратно происходят на разных линиях, так что при достаточно большой увлеченности гений и маньяк могут иметь равные увлеченности и техники, различаясь лишь достижениями (и предысторией}.

  Недостатки  описанной модели и множества аналогичных ей спекуляций в теории катастроф слишком очевидны, чтобы о них говорить подробно, Отмечу только, что работы по теории катастроф отличает резкое, катастрофическое снижение уровня требований к строгости, а также к новизне публикуемых результатов. Если первое можно понять как реакцию на традиционный в математике поток строгих, но малоинтересных, эпигонских работ, то небрежное отношение катастрофистов к своим предшественникам (которым и принадлежит большинство конкретных результатов) вряд ли можно оправдать. Причина в обоих случаях скорее социальная, чем научная.