Человек на воде

     Диаметр жгутика чуть больше 100 (1 = 10^–10 м) и, конечно, лишён мускулатуры. Поэтому бактерия не может по своему желанию согнуть жгутик или пустить вдоль него волну деформации, как делают змеи или некоторые рыбы для своего движения. Единственное, что может делать бактерия, – закручивать жгутик вдоль оси, как штопор. Для этого в месте соединения жгутика с телом бактерии есть специальный молекулярный моторчик – предмет исследований учёных, которые до сих пор до конца не знают, как он работает. Бактерии вращают жгутиком с частотой несколько герц, часто меняя направление движения.

Фото  бактерии кишечной палочки (слева, стрелкой указан один из жгутиков) и схематическое изображение (справа) принципа её движения – вращение жгутиком как штопором

     Все знают, что круговые движения штопора  продвигают его либо вперёд, либо назад, в зависимости от того, против или по часовой стрелке мы его крутим. То же самое происходит и с бактерией: жгутик «вкручивается» или «выкручивается» из жидкости, которая для него является очень вязкой (Re < 10^–5), продвигая бактерию вперёд или назад.

     Как плыть быстрее? Для этого необходимо не только изо всех сил двигать руками и ногами в определённой последовательности, но и ориентировать своё тело так, чтобы испытывать минимальное сопротивление воды. Согласно формуле (3), сила сопротивления воды пропорциональна площади поперечного сечения S, однако это выражение даёт завышенное значение для F₁, т.к. не все частицы воды при столкновении с телом приобретают его скорость. Однако формулой (3) можно пользоваться, если выражение в её правой части умножить на безразмерный коэффициент C_D – коэффициент лобового сопротивления:

                                                                                                                           (6)

     Как показывают эксперименты, C_D сильно зависит от формы тела, как это показано на рисунке.

Линии тока жидкости при обтекании диска (вверху), шара (в середине) и каплевидного тела (внизу) одной и той же площади  поперечного сечения. Справа приведены  соответствующие значения для  C_D при Re = 100 000

     Большие различия в C_D возникают из-за того, что вода по-разному обтекает эти тела. За диском и шаром, например, образуется зона вихрей. А это значит, что, двигая их вперёд, мы должны тратить энергию не только на преодоление вязкого трения, но и на образование вихрей. В отличие от шара и диска, за каплевидным обтекаемым телом вихри почти не образуются, и поэтому сила сопротивления воды движению такого тела меньше, хотя площадь его поперечного сечения такая же.

     Что мешает двигаться в воде со скоростью  звука? Вся энергия при движении в воде уходит на преодоление силы её сопротивления. Вязкость воды в 50 раз, а плотность в 800 раз больше, чем у воздуха. Это и является основной причиной того, что самолёты летают в десятки, а иногда и сотни раз быстрее, чем плывут обычные подводные лодки и торпеды (не более 130 км/ч).

     Тормозят  движение в воде не только большие  вязкость и плотность, но и зоны низкого  давления (турбулентности и вихри), возникающие на хвосте подлодок и  торпед. В тех местах вокруг, где  давление падает ниже давления насыщенных паров воды (0,023 атм при нормальных условиях), образуются пузырьки пара. Такой пузырёк пара называют кавитационным пузырьком, а процесс – кавитацией. Последующее схлопывание кавитационных пузырьков порождает ударные волны, которые являются причиной акустического шума подводных лодок и вызывают эрозию их гребных винтов. Поэтому раньше, когда конструировали обычные торпеды и подводные лодки, всегда боролись с возникновением кавитационных пузырьков пара.

     Ещё в начале 1960-х гг. перед советскими учёными была поставлена задача –  разработать принцип движения под водой со скоростями, близкими к скорости звука. И тогда возникла идея превратить заклятого врага, кавитацию, в помощника. Если не бороться с кавитацией, а, наоборот, создать все условия для неё, то движущееся под водой тело будет со всех сторон окружено облаком кавитационных пузырьков. Такие условия, названные суперкавитацией, приводят к тому, что тело перестаёт соприкасаться с водой и как будто летит в окружающем её газовом пузыре, а значит, резко уменьшается сила сопротивления и соответственно увеличивается скорость движения под водой. Очевидно, что сила тяги гребного винта в условиях суперкавитации падает, т.к. со всех сторон он окружён газовыми пузырьками. Поэтому в качестве источника тяги в таких условиях больше подходит ракетный двигатель.

     В 1977 г. противолодочная торпеда «Шквал», движущаяся в условиях суперкавитации со скоростью более 100 м/с, была принята  на вооружение ВМФ СССР. Секрет технологии таких подводных средств не могли раскрыть в течение 30 лет, и только в середине 2005 г. Германия заявила, что разработала аналогичную высокоскоростную торпеду «Барракуда». В настоящее время учёные и конструкторы пытаются использовать суперкавитацию для создания пассажирских подводных судов.

Торпеда «Шквал», летящая в суперкавитационном пузыре

III. Практическая часть

Вывод формулы предельной наименьшей мощности, которую должен

развивать человек, чтобы не утонуть в спокойной  воде.

     Сначала возьмём из справочников значения необходимых  величин: плотность человека 1030 кг/м³       1050 кг/м³; плотность морской воды при 20 °С 1010 кг/м³    ₀   1050 кг/м³; плотность водопроводной воды при 20 °С ₀ = 998,2 кг/м³. Полагаем, что человек достаточно строен и имеет массу m = 75 кг при росте H = 1,75 м.

     Ясно, что расчёт будет носить оценочный  характер ввиду наличия ряда факторов, которые невозможно точно учесть: техника, скорость, амплитуда движений пловца, геометрическая форма его тела, объём лёгких и степень заполнения их воздухом, объём части головы, находящейся над водой. Кроме того, более детальные вычисления были бы неимоверно сложны, если вообще возможны.

     Итак, пусть человек, лёжа в воде на спине (а так легче всего), немного  двигает ногами и руками, не погружаясь на дно. При этом он очень медленно плывёт, допустим, со скоростью 0,1 м/с. Как увидим ниже, энергозатратами на такое «плавание» можно пренебречь по сравнению с работой, совершаемой для удержания на воде. Считаем пловца в первом приближении прямоугольным параллелепипедом высотой H, шириной 2a и толщиной a. Записав объём человека двояко (V =  и V = 2a²H), легко получить, что площадь его большей грани S =  .

     Если  пловец перестанет «шевелиться», он начнёт погружаться в воду. Так как плотность человека лишь немного больше плотности воды, то считаем скорость погружения постоянной, ибо она установится очень быстро. За весьма малое время t пловец опустится на расстояние h =  t. Чтобы компенсировать это погружение, он должен за время t на пути h совершить работу A = Vg(  –  ₀) h против равнодействующей силы тяжести и архимедовой силы Vg(  –  ₀). Развиваемая при этом мощность

                                                                                                                      (1)

     В формуле (1) неизвестна только скорость погружения , которую найдём из очевидного условия равномерного погружения: mg = F_А + F_с. Здесь F_А =  ₀Vg – архимедова сила, F_с – сила сопротивления воды, которая записывается так:

                                                                                                                                    (2)

где S – площадь лобового сечения тела, C – безразмерный коэффициент, зависящий от его геометрической формы. Для диска, например, C = 1,1, поэтому разумно положить для человека C = 1.

К формуле (2) легко прийти из соображений размерности. Существует лишь единственная комбинация из величин  ₀, S, (от которых заведомо зависит сила сопротивления): ₀S ², имеющая размерность силы. Итак, имеем уравнение:

откуда 

                                                                                                                      (3)

Из формул (1) и (3) после технических упрощений получаем интересующий нас результат:

                                                                                                             (4)

Мощность  в формуле (4) выражена через естественные характеристики человека: массу и  рост, а также через его плотность  и плотность воды. Она применима  только при      ₀, ну а при  <  ₀ никаких усилий, чтобы удержаться на воде, затрачивать не придётся. Так, в заливе Кара-Богаз-Гол плотность воды 1200 кг/м³ – захочешь, да не утонешь. Естественно, что при  =  ₀ получаем N = 0. В состоянии невесомости N = 0 при любых плотностях  и  ₀. Для различных комбинаций и ₀ результаты вычислений сведены в табл. 2.

     Интересно, что даст формула (4) для воздуха ( ₀ = 1,29 кг/м³)? Получается мощность, совершенно недоступная человеку: N = 35 кВт = 47,6 л.с.

     Теория  согласуется с опытом на качественном уровне, хотя формула (4) и неприменима для воздуха.

     Появился  интерес выяснить, какую мощность N₁ должен развить человек, чтобы плыть со скоростью ₁?

     Ясно, что искомая мощность N₁ = N + F_{c 1}, или, применяя формулу (2), N₁ = N +   ₀S₁ . Площадь лобового сечения, перпендикулярного скорости, горизонтально плывущего тела, S₁ =  , поэтому N₁ = N +  . Понятно, что в данном случае, учитывая оценочный характер расчёта, разумно положить  = 1. Окончательно имеем

N₁ = N +  .                                                                                                                                (5)

     Легко подсчитать, что N    при ₁ = 0,1 м/с, так что при выводе формулы (4) мы правильно пренебрегли мощностью, которая затрачивается на столь медленное плавание.

     На  основании формулы (5), в которой  считаем N = 13,84 Вт, составлена табл. 3 для заплыва мужчин на 100 м вольным стилем. Из неё видим, как резко увеличивается мощность со скоростью.

Вывод: Таким образом, мы выполнили главную  цель нашей работы - получили, что  физические и физиологические способности  человека существенно влияют на способность  человека держаться на воде.

Расчет  глубины водоема, при которой человеку безопасно прыгать в воду.

     Пусть рост человека H, а высота берега l. Отметим, что высота l даже в спортивных прыжках не превосходит 10 м, так что учитывать сопротивление воздуха нет необходимости. Также пренебрегаем незначительной горизонтальной составляющей скорости прыгуна по сравнению с вертикальной составляющей при вхождении в воду. Ввиду того, что плотность человека незначительно превышает плотность воды, не учитываем уменьшение потенциальной энергии системы вода–человек в процессе погружения человека на дно и считаем, что потенциальная энергия человека mgl полностью расходуется на работу против силы сопротивления воды. При этом скорость человека у дна обратится в нуль или станет безопасно малой. Пусть прыгун входит в воду вертикально, тогда сила сопротивления воды будет наименьшей, а риск удариться о дно – наибольшим.

     Квадрат скорости вхождения в воду растёт прямо пропорционально высоте l, ибо  = 2gl. Точно так же увеличится и мгновенная сила сопротивления воды, тоже пропорциональная квадрату мгновенной скорости тела, на всём его пути в воде. Поэтому в первом приближении считаем, что глубина водоёма h от высоты l не зависит. Разумно предположить, что h прямо пропорциональна росту человека и обратно пропорциональна безразмерному коэффициенту из формулы (2). Ведь чем лучше обтекается тело, тем медленнее гасится его скорость, и у людей с разной фигурой этот коэффициент неодинаков. Таким образом, основываясь на соображениях размерности, получим

зh ~  .

Полагая опять C = 1, получим окончательно h ~ 3,5 м. (В расчётах не учитывается вязкость воды, ибо даже при скорости пловца 0,1 м/с число Рейнольдса