Фракталы

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ФРАКТАЛ?

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

КРИВАЯ КОХА

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом.

КУБ КОХА

Интересным является построение Куба Коха.

Он получает широкое применение при создании текстур в играх.

ТРЕУГОЛЬНИК СЕРПИНСКОГО

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Для построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

КОВЕР СЕРПИНСКОГО

Ковер Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского.

Построение.

     Берётся сплошной квадрат, разрезается на 9 равных квадратов и удаляется внутренность центрального квадрата. На втором шаге удаляется 8 центральных квадратов из 8 оставшихся квадратов и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного квадрата остается замкнутое подмножество — ковёр Серпинского.

Губка Менгера

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

МНОЖЕСТВО ЖЮЛИА

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы.

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа. Он же стохастический фрактал.

БИОМОРФЫ

Для изображения объектов, схожих с одноклеточными живыми организмами используют биоморфы.

Биоморфы — термин, предложенный Клиффордом Пикоувером для обозначения особым образом построенных алгебраических фракталов, внешним видом напоминающих одноклеточные организмы.

Скульптура

Фракталы могут использоваться для создания различных фигур, скульптур.

Eric Haines разработал фрактал сферическая снежинка, который является трехмерной версией снежинки Коха (используются сферы)

ПРИМЕНЕНИЕ

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.