Исследование математических моделей сигналов

  Лабораторная  работа № 1

“Исследование математических моделей  сигналов”.

Основные  понятия и определения.

Сигнал изменяющаяся физическая величина обеспечивающая передачу информации по линиям связи. В информационных системах используются электрические  сигналы, поэтому всё многообразие сигналов можно разделить на две  группы:

1) детерминированные - характеризуются тем, что в i момент времени их значения являются известными величинами.

2) случайные - характеризуются тем, что в любые моменты времени их значения являются случайными величинами.

Такое разделение является условным т.к. в природе в таком понимание детерминированные сигналы отсутствуют, кроме того реальный сигнал случаен, в силу воздействия на него помех и других многочисленных факторов. Электрические сигналы являются носителями информации лишь при определённых воздействиях (модуляции) на один или несколько параметров. Такие параметры принято называть информативными. Сигналы, как и сообщения по своей структуре подразделяются на: 

а) непрерывные по уровню и времени     - непрерывные                                                                          б) дискретные по уровню и времени      - дискретные                                                                      в) дискретные по уровню и непрерывные по времени                                                                             г) непрерывные по уровню и дискретные по времени

1. Исследование спектров  периодических сигналов.

Известно что  всякая периодическая функция удовлетворяет  условие Дирихле(функция должна быть ограниченной, кусочно непрерывной, иметь конечное число экстремум, иметь конечное число разрывов первого рода) может быть представлена в виде бесконечной суммы гармонических составляющих т.е. рядом Фурье. Известны две формы разложения:

1) Геометрическая 
 
 
 

2) Комплексная

 

Совокупность амплитуд и соответствующих частот гармоник, принято называть спектром амплитуды.

Совокупность фаз  и соответствующих частот гармоник принято называть спектром фаз.

Гармоника - частота  кратная основной. Характерной особенностью спектра периодического сигнала является его дискретность.

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов 

…

t…

T…

t…

 U

 t

 x(t)

 
 
 
 

Функция описывающая такой сигнал, может быть представлена в виде: 

 
Кроме того, в виде ряда Фурье: 
 

1.1 Влияние изменения амплитуды сигнала на амплитудный и фазовый спектры

Постоянные параметры  t=12с t= 15с T=35с^-1 
 
 
 

 При U=38В  При U=142В  

                       При U=205В 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

При  увеличении амплитуды U и при постоянных значениях других параметров: амплитуды составляющих гармоник увеличиваются пропорционально, а фазовый спектр не меняется. Нули огибающей не меняют своего  положения. Спектральные линии не меняют частоту. 

1.2 Влияние изменения периода сигнала на амплитудный и фазовый спектры

Постоянные параметры  U=28.9В t= 24.1с t=42.6с 

      При T=112с^-1                При T=300с^-1

При T=23.5с^-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

При изменении  периода Т и и при постоянных значениях других параметров: нули огибающей амплитудного спектра не сдвигаются. При увеличении Т увеличивается плотность спектральных линий, и уменьшаются амплитуды составляющих гармоник,  при уменьшении Т – соответственно наоборот.

1.3 Влияние изменения длительности импульса на амплитудный и фазовый спектры.

Постоянные параметры  U=82.6В t=20.6c T=64.6с^-1

     При t= 15.4c                      При t= 50.3c

При t= 103.1c 
 
 
 
 
 
 
 
 

При изменении  длительности импульса τ и при  постоянных значениях других параметров: меняется и амплитудный спектр, и  фазовый. При увеличении  τ амплитуда  гармоник растет; нули огибающей сдвигаются влево, и их число увеличивается; спектральные линии не учащаются; соответственно фазовая характеристика приобретает  больший наклон

1.4 Влияние изменения запаздывания сигнала на амплитудный и фазовый спектры.

U=30.1В t= 15.4с T=50.6с

     При t=0с                        При t=-0.8с

 
 
 
 

При t=0,3с 
 
 
 
 
 

Изменение времени задержки t приводит к появлению фазового сдвига для всех частотных составляющих. 

2. Исследование спектров  непериодических  сигналов

t₁…

t…

 U

 t

 x(t)

  Рассмотрим одиночный прямоугольный импульс длительностью  
 
 
 

      Функция x(t) может быть представлена следующим образом:

           Прямое преобразование Фурье:

           Величина  называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой.

           Как комплексная величина спектральная  характеристика может быть записана  в виде:

    

где =| | называется спектральной плотностью амплитуд или спектром непериодического сигнала.

2.1) Влияние изменения амплитуды сигнала на амплитудный и фазовый спектры:

t= 20c 
 
 

При U=20.1В                         При U=40.2В

 
 
 
 
 

  При U=6.9В  
 
 
 
 
 

При увеличении амплитуды h и при постоянных значениях других параметров: амплитуды составляющих гармоник увеличиваются пропорционально, а фазовый спектр не изменяется. Нули огибающей не меняют своего положения.

2.2) Влияние изменения длительности импульса на амплитудный и фазовый спектры:

 U=20.1В    
 

       При t= 7.8c При t= 36.6c

      
 
 
 
 

При t= 18.9c

      При изменении длительности импульса τ  и при постоянных значениях других параметров: меняется и амплитудный спектр, и фазовый. При увеличении  τ амплитуда гармоник растет; нули огибающей сдвигаются влево и их число увеличивается; соответственно фазовая характеристика приобретает больший наклон.

…

t₁…

T…

t…

 U

 t

 x(t)

  3. Исследование распределения мощности в спектре периодических сигналов. 
 
 
 
 
 

    Задание: Определить, какая часть средней мощности, выделяемая резистором с сопротивлением периодической последовательностью прямоугольных импульсов приходится на 5 первых гармоник ряда Фурье.

    Получить  графики пяти первых гармоник ряда Фурье. Записать значения средней мощности, приходящейся на каждую гармонику и  на их сумму, и сделать вывод, сколько  в процентном отношении приходится средней мощности на 5 первых гармоник и постоянной составляющей.

     

    Средняя мощность определяется как:

         Средняя мощность за период определяется, как:

3.1.1) При разных значениях t, const =(U=35В, R=150Ом, T=43с^-1):