Изучение вращательного движения с помощью маятника Обербека

Министерство образования  и науки  РФ

Московский государственный  строительный университет

Кафедра Физики

 

 

 

Лабораторная работа №4.

Изучение вращательного  движения с помощью маятника Обербека.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Студентки 1 курса 

.

Специальность 270115

ЭиУН уск.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2011

 

 

 

Цель работы.

Изучение характеристик вращательного  движения твердого тела. Применение основного  закона динамики вращательного движения для определения момента инерции  тела.

Описание экспериментальной  установки.

Маятник Обербека состоит из 4 спиц, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На втулке закреплены два шкива с разными диаметрами D и d. Втулка со спицами и шкивами может свободно вращаться относительно горизонтальной оси. Вдоль каждой спицы можно перемещать грузик, закрепляя его на расстоянии R от оси вращения. Если на шкив намотать нить, к ее концу присоединить груз массой m и перекинуть нить через неподвижный блок, то, нажимая кнопку пуск, можно измерить время ускоренного движения груза на расстоянии h с помощью секундомера.

Элементы теории.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z:

(1) , где М – момент внешних сил, действующих на тело, J – момент инерции тела относительно оси, ε – угловое ускорение.

Момент  инерции тела относительно оси z является мерой инертности тела при его вращении относительно этой оси и определяется формулой:

(2) , где ∆m- масса материальной точки, удаленной на расстояние R от оси z. Если массу ∆m каждого малого объема выразить через плотность тела p и объема , то из формулы (2) следует

(3) 

Предел  суммы (3) при стремлении объема к нулю – это интеграл по объему тела V:

(4) 

При помощи данной формулы можно вычислять  моменты инерции однородных тел  правильной формы относительно осей, проходящих через центры масс этих тел.

Момент  инерции тела сложной формы проще  определить экспериментально. Из уравнения (1) получим:  (5).

Используем  маятник Обербека для проведения эксперимента.

Начальная скорость груза равна 0, отсюда

Следовательно, ускорение груза, направленное вниз, равно

(6)

На груз действует его сила тяжести  и сила натяжения нити.

Если на оси координат положительное  направление выбрать вниз, то проекция второго закона Ньютона на эту  ось имеет вид

ma = mg - F

Отсюда сила натяжения нити равна F = mg-ma = m(g-a)

Момент силы натяжения, действующий  на маятник Обербека, относительно горизонтальной оси Z, соответственно равен Mz = F*r, где r – радиус шкива. Тогда

(7)   Mz = F*r = m(g-a)r

Под действием момента силы маятник  вращается с угловым ускорением ε. Если нить не проскальзывает, то ускорение нити, равное ускорению груза, равно тангенциальному ускорению точек обода шкива

, отсюда

(8) 

Подставляя формулы (7) и (8)  в  формулу (5), найдем общий момент инерции маятника Обербека относительно горизонтальной оси z, проходящей через центр масс маятника

 

(9)

Подставляя формулу (6) в формулу (9) и учитывая, что r=D/2, получим формулу для определения момента инерции маятника Обербека относительно оси вращения

(10)

Если момент инерции крестовины со шкивами относительно оси вращения обозначить Jкр, то общий момент инерции маятника относительно этой оси равен

(11) J=Jкр + 4 Jг

Момент инерции Jг одного цилиндрического грузика:

(12) Jг=Jгр + m1R²

Подставляя формулу (12) в формулу (11), получим момент инерции маятника относительно оси вращения в виде:

 

(13) , где J0= Jкр +Jгр

 

Выполненные расчеты  и таблицы.

Неизменные величины:

m= 0,155кг; D=0,08м; d=0,04м; h=0,2м, ∆m=0,0001кг

Таблица1.

	D=8 см				d=4 см
R	4,2	2,2	15,0	10,8	4,2	2,2	15,0	10,8
t1	1,36	1,25	1,78	1,55	2,05	2,00	2,78	2,40
t2	1,33	1,22	1,83	1,52	2,02	1,97	2,81	2,33
t3	1,36	1,24	1,79	1,55	2,06	1,99	2,77	2,40
t4	1,37	1,26	1,82	1,53	2,06	1,97	2,81	2,33
t5	1,37	1,24	1,80	1,50	2,04	2,03	2,89	2,38
	1,36	1,24	1,80	1,53	2,05	1,99	2,81	2,37
∆t	0,0158	0,0143	0,0200	0,0200	0,0164	0,0239	0,0449	0,0340
J	0,0110	0,0091	0,0196	0,0141	0,0063	0,0059	0,0119	0,0084
∆J	0,000264	0,000215	0,000456	0,000373	0,000099	0,000143	0,000383	0,000242
E	5,4	6,5	3,1	4,3	4,7	5,0	2,5	3,6
∆E	0,124	0,149	0,068	0,111	0,075	0,120	0,080	0,104

 

Таблица 2. Расчет по эксперименту с диаметром D (Rn, D)

№ наблюдения	(tί- <t> )² R1	(tί- <t> )² R2	(tί- <t> )² R3	(tί- <t> )² R4
1	0	0,0001	0,0004	0,0004
2	0,0009	0,0004	0,0009	0,0001
3	0	0	0,0001	0,0004
4	0,0001	0,0004	0,0004	0
5	0,0001	0	0	0,0009
Суммы	∑(tί- )²=0,0011	∑(tί- )²=0,0009	∑(tί- )²=0,0018	∑(tί- )²=0,0018
σ=	0,0074	0,0067	0,0094	0,0094

 

 

Таблица 3. Расчет по эксперименту с диаметром d (Rn, d)

№ наблюдения	(tί- <t> )² R1	(tί- <t> )² R2	(tί- <t> )² R3	(tί- <t> )² R4
1	0	0,0001	0,0009	0,0009
2	0,0009	0,0004	0	0,0016
3	0,0001	0	0,0016	0,0009
4	0,0001	0,0004	0	0,0016
5	0,0001	0,0016	0,0064	0,0001
Суммы	∑(tί- )²=0,0012	∑(tί- )²=0,0025	∑(tί- )²=0,0089	∑(tί- )²=0,0051
σ=	0,0077	0,0112	0,0211	0,0160

 

1. Рассчитаем среднее значение t для каждого значения R, D и d:

 

  

  

 

 

 

 

2. Рассчитаем среднее квадратичное  отклонение σ:

=

 

3. ,    tpv- коэффициент Стьюдента, в нашем случае = 2.13

∆t1=2,13*0,0074=0,0158с         ∆t5=2,13*0,0077=0,0164с                                 

∆t2=2,13*0,0067=0,0143с         ∆t6=2,13*0,0112=0,0239с

∆t3=2,13*0,0094=0,0200с         ∆t7=2,13*0,0211=0,0449с

∆t4=2,13*0,0094=0,0200с           ∆t8=2,13*0,0160=0,0340с

  

4. Результат измерения времени  равен:

 t = ±∆t

5. Вычислим момент инерции маятника  по каждому экспериментальному случаю:

                                                      

 

J1= 0,0110кг*м²    J5= 0,0063кг*м²     

 

J2= 0,0091 кг*м²      J6= 0,0059 кг*м²     

J3= 0,0196 кг*м²    J7= 0,0119кг*м²     

 

J4= 0,0141 кг*м²   J8= 0,0084 кг*м²     

 

6. Определим полуширину доверительного  интервала для каждого найденного J, т.е. найдем относительную и абсолютные погрешности:

                                             ∆J = EJ *

1. =0,024 кг*м²                ∆J = 0.024*0,0110=0,000264 кг*м²    

 2. =0,0236 кг*м²            ∆J = 0,0236*0,0091=0,000215 кг*м²    

3. =0,0233  кг*м²               ∆J=0,0233*0,0196=0,000456 кг*м²    

4.  = 0,0265 кг*м²               ∆J=0,0265*0,0141=0,000373 кг*м²    

5. =0,0157 кг*м²               ∆J=0,0157*0,0063=0,000099 кг*м²    

 

6. =0,0243 кг*м²                 ∆J=0,0243*0,0059=0,000143 кг*м²    

7. =0,0322  кг*м²             ∆J=0,0322*0,0119=0,000383 кг*м²    

8. =0,0288 кг*м²              ∆J=0,0288*0,0084=0,000242 кг*м²    

 

7. Для каждого диаметра шкива D и d построим график зависимости:

J=J(R²)

8. Вычислим угловое ускорение для всех значений R по формуле:

1. 5,4 рад/с²                    5. 4,7 рад/с²                   

2. 6,5 рад/с²                   6.  5,0 рад/с²                   

3. 3,1 рад/с²                   7. 2,5 рад/с²                   

4. 4,3 рад/с²                    8. 3,6 рад/с²                   

 

И построим графики зависимостей ε = ε (R)

9. Оценим полуширину доверительного интервала определения углового ускорения и относительную погрешность, пренебрегая погрешностями измерения D и h:

1. =0,023 рад/с²            5. =0,016 рад/с²

2. =0,023 рад/с²            6. =0,024 рад/с²

3. = 0,022 рад/с²             7. =0,032 рад/с²

4. =0,026 рад/с²                8. =0,029 рад/с²

1. 0,023*5,4=0,124 рад/с²                  5. 0,016*4,7=0,075 рад/с²
2. 0,023*6,5=0,149 рад/с²                 6.  0,024*5,0=0,120 рад/с² 
3. 0,022*3,1=0,068 рад/с²                7. 0,032*2,5=0,080 рад/с²
4. 0,026*4,3=0,111  рад/с²                 8. 0,029*3,6=0,104 рад/с²

 

10. В итоге сравним, как меняется угловое ускорение при изменении момента силы, вызванном изменением радиуса шкива. Как видно из данных таблицы 1, при одинаковом значении R, но разных значениях D, угловое ускорение отличается. Допустим, при R1=4,2, D= 0,08м ε= 5,4 рад/с², при d=0,04м, ε= 4,7 рад/с², то есть меньше. Так экспериментальным путем мы определили момент инерции  и угловое ускорение тела и зависимость J и ε от радиуса.

 

Выводы:

1. Чем больше расстояние от оси вращения до грузов, тем больше момент инерции. Как видно из таблиц и графиков: чем больше радиус, тем больше значение J. А при одинаковых значениях R, но при разном диаметре шкива (D и d) J тоже меняется. При D показатели выше.
2. Угловое ускорение, наоборот, при большем значении R уменьшается, так как обратно пропорционально радиусу.