Электрический заряд

ЛЕКЦИЯ  № 1

Тема  лекции: Электрический заряд. Закон Кулона. Электростатическое поле. Напряжённость поля. Линии напряженности. Работа сил электростатического поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом. Энергия взаимодействия системы зарядов. 

    В настоящее время известно, что в основе всего разнообразия явлений природы лежат четыре фундаментальных взаимодействия между элементарными частицами - сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Каждый вид взаимодействия связывается с определенной характеристикой частицы. Например, гравитационное взаимодействие зависит от масс частиц, электромагнитное - от электрических зарядов.

    Электрический заряд частицы является одной из основных, первичных ее характеристик. Ему присущи следующие фундаментальные свойства:

1) электрический заряд существует в двух видах: как положительный, так и отрицательный;

2) в любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется, это утверждение выражает закон сохранения электрического  заряда;

3) электрический заряд является релятивистски-инвариантным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится.

4) все заряды в природе кратны заряду электрона: , где - целое.

Точечным  зарядом является заряженное тело, геометрическими размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Закон Кулона (1785 г.) устанавливает, что сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов и , находящихся в вакууме на расстоянии друг от друга (рисунок), определяется выражением 

                                                         (1.1) 

где - это орт радиус-вектора, направленный вдоль линии, соединяющей точечные заряды, , а постоянная называется электрической постоянной. Заряд выражается в кулонах ( ).  

 

Из экспериментов  известно, что закон Кулона справедлив для расстояний от до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и для больших масштабов.

В поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, покоится пробный заряд или движется. Это относится и к системе неподвижных зарядов.

Согласно  современным представлениям, взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства - создает электрическое поле. Это проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытывает действие силы.

    Тогда величину электрического поля можно  определить по величине кулоновской  силы , с которой поле действует на пробный заряд . Но само поле заряда не должно зависеть от величины . Поэтому электрическое поле принято характеризовать вектором напряженности :

    

- это векторная  величина, равная силе, с которой поле действует на единичный пробный заряд.

 

Тогда напряженность поля неподвижного точечного заряда на расстоянии от него можно представить как

                                                                (1.2)

напряженность поля выражается в вольтах на метр ( ).

Принцип суперпозиции. Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

                                                    (1.3)

где расстояние между зарядом , и интересующей нас точкой поля.

    Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Он выражает одно из самых замечательных свойств полей и позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов, вклад каждого из которых дается формулой (1.2).

Во многих случаях бывает удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

    При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов - объемной , поверхностной и линейной . По определению,

     ,  ,  ,                                             (1.4) 

где — заряд, заключенный соответственно в объеме , на поверхности и на длине .

С учетом этих распределений формула (1.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд  распределен  по объему, то надо заменить на и на , тогда.

                                        (1.5)

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором  отлично от нуля.

    Зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.3), если распределение дискретно, или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями. Действительно, для нахождения вектора надо вычислить сначала его проекции , , а это по существу три интеграла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчается.

Пример 1. Поле на оси тонкого  равномерно заряженного  кольца. Заряд равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом . Найти напряженность электрического поля на оси кольца как функцию расстояния от его центра.

 

В данном случае вектор должен быть направлен по оси кольца. Выделим на кольце около точки элемент . Запишем выражение для составляющей от этого элемента в точке :

    

где . Для всех элементов кольца и будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене на . В результате

.

Видно, что при  поле , т. е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

Пример 2. Поле равномерно заряженной прямой нити. Тонкая прямая нить длиной заряжена равномерно зарядом . Найти напряженность поля в точке, отстоящей на расстоянии от центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов.

 

    Из  соображений симметрии очевидно, что вектор должен иметь направление, показанное на рисунке. Найдем составляющую от элемента нити с зарядом и затем проинтегрируем по всем элементам нити. В нашем случае

    

,

где — линейная плотность заряда. Приведем это уравнение к виду, удобному для интегрирования. Из рисунка видно, что и , поэтому

.

Это выражение  легко проинтегрировать:

где — максимальное значение угла , , поэтому

.

И здесь при как поле точечного заряда.

Геометрическое  описание электрического поля. Зная вектор в каждой точке, можно представить электрическое поле очень наглядно с помощью линий напряженности, или линий вектора . Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора , а густота линий, т. е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы пропорциональна модулю вектора . Кроме того, этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора . По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического поля - о направлении и модуле вектора в разных точках поля. 

Работа  сил электростатического  поля. Потенциал.

    На  электрический заряд со стороны электростатического стороны поля действует сила, поэтому при перемещении заряда в поле совершается работа.

   Пусть, в простейшем случае, точечный заряд  перемещается на расстояние в поле другого точечного заряда q (рисунок). При этом кулоновская сила совершает работу

   

Следовательно, при изменении расстояния между  зарядами от до величина работы будет

Из полученной формулы следует, что работа по перемещению заряда в поле не зависит от формы пути, т.е. электростатические силы являются потенциальными или консервативными.

    По  определению консервативности силы эта работа идет на изменение потенциальной энергии взаимодействия зарядов:

    

 или ,

 откуда  следует, что кулоновская потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии друг от друга, будет равна:

    Разделив это выражение на величину пробного заряда , получаем выражение для потенциала поля точечного заряда , находящегося в начале координат:

    

т.е. потенциал равен потенциальной энергии единичного точечного заряда в данной точке поля. Единицей измерения потенциала является Вольт.

И потенциал, и потенциальная энергия определены с точностью до произвольной постоянной. Эта постоянная выбирается так, чтобы на бесконечном удалении и были равны нулю. Действительно два заряда, удаленные друг от друга на бесконечность, не взаимодействуют, т.е. их энергия взаимодействия и, следовательно, постоянная равны нулю. Поэтому можно сказать, что потенциалом электрического поля называется работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

    Для потенциала также, как и для напряженности справедлив принцип суперпозиции: потенциал системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов отдельных зарядов:

   Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , то разбиваем их на малые участки , которые можно считать точечными (рисунок). Тогда потенциал поля такого непрерывно распределенного заряда:

. 

Связь между вектором и для электрического поля.

Элементарная работа электрического поля по переносу пробного заряда на расстояние определяется так: . Тогда работа электрического поля по переносу пробного заряда из точки 1 в точку 2 будет равна

Так как  электростатическое поле потенциально, то эта работа равна разности потенциальных  энергий пробного заряда в этом электрическом  поле: