Основное  уравнение колебательного контура.

 Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь (рис. 4.6).  

Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:  
 
Эта энергия не меняется с течением времени, если его сопротивление R контура равно нулю. Значит, производная полной энергии по времени равна нулю. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей: 
   
Физический смысл уравнения (4.5) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак «-» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Вычислив производные в уравнении (4.5), получим^*:  
   
Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени: 
   
Поэтому уравнение (4.6) можно переписать в следующем виде: 
 
 
 
^* Мы вычисляем производные по времени. Поэтому производная (і²)' равна не просто 2_і, как было бы при вычислении производной но і. Нужно 2_і умножить еще на производную i' силы тока по времени, так как вычисляется производная от сложной функции. То же самое относится к производной (q₂)'. 
  
Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Подставив в уравнение (4.8) і' = q" и разделив левую и правую части этого уравнения на L i, получим основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре: 
   
Теперь вы в полной мере можете оценить значение тех усилий, которые были затрачены для изучения колебаний шарика на пружине и математического маятника.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Собственные колебания контура.

В идеальном  колебательном контуре R =0. Поэтому полная энергия W остается постоянной в течение всего времени колебаний:

   

где q и I — мгновенные значения заряда конденсатора и силы тока в контуре. Производная по времени (так как W=const). Следовательно:

 

Но  значит, Поэтому:  

Обозначим   тогда   или — уравнение свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре. Сравнивая это уравнение с уравнением описывающим гармонические колебания, можно сделать вывод: свободные электромагнитные колебания в контуре (при R=0) являются гармоническими.

Решение этого  уравнения имеет вид: где q— начальное (амплитудное) значение заряда, сообщенного конденсатору; w — собственная циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в контуре.

Так как    то — формула Томсона (период свободных электромагнитных колебаний в контуре).

Продифференцировав  по времени выражение для заряда, найдем, что:

где — амплитудное значение силы тока. Следовательно, сила тока I в колебательном контуре совершает также гармонические колебания с той же частотой w, но по фазе они смещены на     ,  относительно колебаний заряда (рис. 3).

 

                                                  Формула Томсона.

Формула Томсона названа в честь английского физика Уильяма Томсона (1824-1907), который вывел её в 1853 году. Эта формула, выражает зависимость периода незатухающих собственных колебаний, возникающих в колебательном контуре, от индуктивности и емкости этого контура.

 
 

                     Реактивное сопротивление в цепи переменного тока.

Реактивное сопротивление — электрическое сопротивление, обусловленное передачей энергии переменным током электрическому или магнитному полю (и обратно). Реактивное сопротивление определяет мнимую часть импеданса:                                , где  — импеданс (комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала),  — величина активного сопротивления,  — величина реактивного сопротивления,  — мнимая единица.                                                                          В зависимости от знака величины какого-либо элемента электрической цепи говорят о трёх случаях:

•  — элемент проявляет свойства индуктивности.
•  — элемент имеет чисто активное сопротивление.
•  — элемент проявляет ёмкостные свойства.

Величина реактивного  сопротивления может быть выражена через величины индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

 
 

                                   
 
 
 

Затухающие  колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний  A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.                                    

                                        

                                      Уравнения затухающих колебаний

 

        Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай - трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия.

Второй закон  Ньютона в нашем случае запишется  так:

Это уравнение  и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемом каноническом виде:

   - коэффициент затухания,     - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.

Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания  всех линейных систем; конкретная колебательная  система отличается только выражениями  для b и j₀. 
 
 
 

                                             

Заключение

Переменный электрический  ток - возбуждения в цепях вынужденных электромагнитных колебаний. Эти вынужденные колебания создаются генераторами переменного тока. При электромагнитных колебаниях происходят периодические изменения электрического заряда, силы тока и напряжения. Электромагнитные колебания подразделяются на свободные, вынужденные и автоколебания.

Электромагнитные  колебания высокой частоты можно  получить с помощью транзисторного или лампового генераторов.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же уравнениями. Поэтому появился целый раздел в современной физике – теория колебаний. Она занимается изучением закономерностей этих явлений и имеет очень большое практическое значение.

Благодаря изучению физики колебаний, мы сделали множество открытий и изобретений в области радиоэлектроники, электроники, телефонографии и т.д.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература 

1. Калашников  С.Г. «Электричество», М., 1964г., -668с
2. КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ. Полицинский Е.В.
3. Стрелков С. П.. Введение в теорию колебаний, М. - Л., 1951.
4. В. Н. Парыгин, Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания.
5. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред. образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино.
6. Википедия
7. Интернет ресурсы