МОРДОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.П.ОГАРЕВА

Факультет математический

Кафедра прикладной математики 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

Электростатическое  поле в ограниченной области

   
 
 

Автор курсовой работы                                                                                               !!!

Специальность     !!       !!

Обозначение курсовой работы     !!

Руководитель  работы                              

к.ф.-м.н, доцент                                                                                     !!!

                                                                      
 

                                                Оценка   
 
 
 
 
 

      Саранск 2010

    Содержание 

1. Электростатическое поле…………………………………………………..…..2

2. Колебательный процесс в потенциальном поле....……………………….......5

3. Интеграл Дирихле и задача Дирихле для уравнения Лапласа………………7

4. Список литературы……………………………………………………………..9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ  ПОЛЕ 

    Рассмотрим  плоское электростатическое поле, т.е. плоскую среду, в каждой точке  Р которой определен двумерный вектор Е - сила поля. Введем декартовы ортогональные координаты x, y, z точки Р и для компонент вектора Е примем обозначения Е_х, Е_у, Е_z. Будем предполагать, что функции Е_х, Е_у, Е_z непрерывны вместе со своими производными первого порядка во всех точках поля.

    Пусть D – произвольная область рассматриваемого поля с достаточно гладкой границей S, |D| – ее площадь, v = (cos v^x, cos v^y, cos v^z) – внешняя к S нормаль, а s =( cos s^x, cos s^y, cos s^z) – единичный касательный вектор, направленный в сторону направления обхода S, оставляющего область D слева. Компоненты v и s связаны между собой очевидными равенствами

       cos v^x = cos s^у, cos v^y = - cos s^x, cos v^z = cos s^z.

    Выражения

    N = ,     А= ,

    Где Ev и Es – скалярные произведения,

    Ev =  Е_х cos v^x + Е_у cos v^y + Е_z cos v^z,

    Es = Е_х cos s^x + Е_у cos s^y + Е_z cos s^z = Е_y cos v^x – Е_x cos v^y + Е_z cos v^z,

    Называются  соответственно потоком через контур S и циркуляцией вдоль S вектора Е.

    Из  курса математического анализа  известно, что для действительных функций A_i (x), i=1,..,n, непрерывных вместе со своими производными первого порядка в замкнутой области DS с гладкой границей S, имеет место формула Гаусса – Остроградского

    

 d _x = _i(y)v_i(y)dSy,                      (ГО)                                    

    Где dτ_x – элемент объема, а v = (v₁,...,v_n) – внешняя нормаль к S в точке y S.

    В силу формулы (ГО) имеем

            N =       

            A =

    Стягивая  область D в точку Р, в пределе получаем

           = div E,

           = rot E,

    Поскольку, по определению, N = 4πe, 4 , где e – суммарный заряд, лежащий в D, а ρ – поверхностная плотность заряда в точке Р, мы можем написать

                       

=4                                 (1)

    Так как А представляет собой работу силы Е на пути S и поле статическое, то в силу закона сохранения энергии имеем А=0, т.е.

                       

=0                                     (2)

    В случае отсутствия зарядов в поле из (1) получаем

                       

=0                                    (3)

    Равенства (2) и (3) означают, что выражения 

    E_xdx + E_ydy + E_zdz и E_ydх – E_xdy + E_zdz

    Являются  полными дифференциалами. Введем в  рассмотрение скалярные функции  u(x,y,z) и v(x,y,z) по формулам

    dv = – E_x dx – E_y dy – E_z dz, du = – E_y dx +  E_x dy + E_z dz

    Эти равенства означают, что

                       

= , = , =                         (4)

    Функции u(x,y,z) и v(x,y,z) носят названия соответственно силовой функции и потенциала поля, а система уравнений (4), решением которой они являются, – системы Коши – Римана.

    Таким образом, изучение плоского электростатического  поля редуцировано к исследованию системы  дифференциальных уравнений с частными производными (4).

    Функции u(x,y,z) и v(x,y,z), представляющие собой регулярные решения системы (4), имеют частные производные всех порядков. Дифференцируя первое уравнение этой системы по х, второе по y, а третье по z и складывая их, заключаем, что Δu = u_xx + u_yy + u_zz = 0, т.е. u(x,y,z) является гармонической функцией. Аналогично убеждаемся в гармоничности и функции v(x,y,z). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    2.КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ 

    Мембраной называется упругая материальная поверхность, которая в положении покоя  имеет форму плоской области  G и потенциальная энергия E_p которой в процессе колебания пропорциональна приращению площади.

    Предположим, что область G лежит в плоскости переменных x, y, z и прогиб мембраны u(x,y,z,t), т.е. вертикальное смещение точки (x,y,z) G – достаточно гладкая функция. Колебания мембраны будем считать малыми в том смысле, что при вычислениях можно пренебречь степенями величин

    u, u_x, u_y, u_z, u_t  выше второй.

    Так как в момент времени t площадь σ мембраны дается формулой

            dxdydz ≈ dxdydz,

    а в положении покоя ее площадь

           |G| =

           то для потенциальной энергии E_p имеем

           E_p = dxdydz

    Здесь коэффициент пропорциональности μ носит название натяжения мембраны.

    Для кинетической энергии E_k мембраны имеем выражение

            E_k = ,

     Где ρ – поверхностная плотность массы мембраны, а u_t – скорость смещения.

    В силу принципа Гамильтона интеграл

    

= dxdydz ,      (5)

    Где (t₁,t₂) – промежуток времени наблюдения, должен быть стационарным. Следовательно, функция u(x,y,z,t) должна быть решением уравнения Эйлера вариационной задачи для интеграла (5):

           ( u_t) ( u_x) ( u_y) ( u_z) = 0

           или, считая ρ и μ постоянными,

                                  

u_tt = 0 ,                                  (6)

    где a² = . Постоянная а  носит название скорости распространения звука.

    При исследовании уравнения (6) без ограничения  общности можно считать, что а=1, ибо простой заменой переменных

    τ = at, u(x,y,z,t) = u(x,y,z, ) = v(x,y,z,τ)

    это уравнение принимает вид

    v_ττ – Δv = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    3.ИНТЕГРАЛ  ДИРИХЛЕ И ЗАДАЧА  ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ  ЛАПЛАСА 

    Считая, что u не зависит от t, т.е. полагая, что в положении изгиба, описанном уравнением u = u(x,y,z), мембрана находится в равновесии, из (6) получаем Δu=0. На этот раз уравнение Лапласа служит уравнением Эйлера вариационной задачи для интеграла Дирихле

            D(u) = dxdydz ,

    Представляющего собой потенциальную энергию  мембраны в положении равновесия с прогибом u(x,y,z).

    Действительно, предположим, что смещение границы (края) S области G является заданной функцией

                         u(x,y,z) = φ, (x,y,z)

S                                 (7)