Кинематика вращательного и поступательного движения

 

 

 

 

• Направление вектора ускорения   в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости   Составляющие вектора ускорения   называют касательным (тангенциальным)   и нормальным   ускорениями
• Вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета. 

 

 

 

 

 

• Тангенциальная составляющая ускорения а(t) равна первой производной по времени от модуля скорости
• Нормальная составляющая ускорения направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют так же центростремительным ускорением)

 

 

 

 

 

 

 

Движение по дугам окружностей

 

• Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей 

 

 

 

 

 

Полное ускорение

 

 

• Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

 

 

 

 

 

4.Равнопеременное прямолинейное  движение

 

 

 

 

 

 

• Равнопеременным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. на равные величины. Это движение может быть равноускоренным и равнозамедленным.

 

 

 

 

Ускорение при прямолинейном  движении

 

• Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости v точки, движение называется равноускоренным. Если направление векторов а и v противоположны, движение называется равнозамедленным.

 

 

 

 

 

 

• При равнопеременном прямолинейном движении ускорение остается постоянным и по модулю, и по направлению (а = const). При этом среднее ускорение а(ср) равно 

   мгновенному ускорению а вдоль траектории точки. Нормальное ускорение при этом отсутствует (аn=0).

 

 

 

 

Изменение скорости

 

• Изменение скорости ∆v = v - v0 в течение промежутка времени ∆t = t – t0 при равнопеременном прямолинейном движении равно: ∆v = a·∆t, или v - v0 = a·(t - t0). Если в момент начала отсчета времени t(0) скорость точки равна v(0) (начальная скорость) и ускорение а известно, то скорость v в произвольный момент времени t: v = v0 + a·t. Проекция вектора скорости на ось ОХ связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением: vх = v(0)х ± aх·t. Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси.

 

 

 

 

Перемещение

 

• Вектор перемещения ∆r точки за промежуток времени ∆t = t - t0 при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v0 и ускорением а равен:

 

 

 

 

•  Проекция на ось ОХ (или перемещение точки вдоль соответствующей оси координат) при t0 = 0 равна:

 

 

 

 

Путь при прямолинейном  движении

 

• Путь Sx, пройденный точкой за промежуток времени ∆t = t - t0 в равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v0 и ускорением а, при t0 = 0
• Возможно так же при решении задач использовать формулу

 

 

 

 

• Так как координата тела равна х = х(0) + S, то уравнение движения тела имеет вид:

 

 

 

 

5. Свободное падение  тел. 
Движение тела, брошенного вертикально вверх 

 

 

 

 

• Свободным падением называется движение, которое совершило бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха. При свободном падении тела с небольшой высоты h от поверхности Земли (h ≪Rз, где Rз - радиус Земли) оно движется с постоянным ускорением g, направленным вертикально вниз.

 

 

 

 

Ускорение свободного  падения

 

• Ускорение g называется ускорением свободного падения. Оно одно и тоже для всех тел и зависит лишь от высоты над уровнем моря и от географической широты. Если в момент начала отсчета времени (t(0) = 0) тело имело скорость v(0), то по истечении произвольного промежутка времени ∆t = t – t(0) скорость тела при свободном падении будет: v = v(0) + g·t.

 

 

 

 

Путь

 

• Путь h, пройденный телом в свободном падении, к моменту времени t:

 

 

 

 

 

Модуль скорости тела после прохождения в свободном падении пути h находится из формулы: 
 

 

•  Т.к. vk2-v02=2·g·h, то

 

 

 

 

• Продолжительность ∆t свободного падения без начальной скорости (v0 = 0) с высоты h:

 

 

 

 

 

• При движении тела вертикально вверх с начальной скоростью v0, ускорение тела равно ускорению свободного падения g. На участке до наивысшей точки подъема движение тела является равнозамедленным, а после достижения этой точки - свободным падением без начальной скорости.

 

 

 

 

• Скорость тела в произвольный момент времени t от начала движения независимо от того, рассматривается лишь подъем тела или его опускание после достижения наивысшей точки, равна v = v0 + g·t.
• Вектор перемещения ∆r тела за произвольный промежуток времени ∆t = t - t0, при условии t0 = 0, равен:

 

 

 

 

• В момент времени t(под), соответствующий наибольшему подъему тела над точкой бросания (когда у = умах или высота подъема тела максимальна h = h(max) = у(max) - у0 скорость тела станет равна нулю: v = v0 - g·t(под) = 0, откуда t(под) = v(0)/g, в этот момент направление движения тела изменяется на противоположное.
• Максимальная высота подъема тела над точкой бросания:

 

 

 

 

 

6. Движение тела, брошенного  под углом к горизонту и  брошенного горизонтально с некоторой  высоты 

 

 

 

 

• Движение тела, брошенного с некоторой высоты, можно разложить на два независимых движения: равномерное прямолинейное, происходящее в горизонтальном направлении со скоростью υх , равной начальной скорости бросания υ0 (υх = υ0), и свободное падение с высоты, на которой находилось тело в момент бросания, с ускорением g. Для описания этого движения выбирают прямоугольную систему координат хОу. Траектория движения является ветвь параболы 
• При этом время полета связано с вертикальной составляющей движения. Дальность полета - с горизонтальной.

 

 

 

 

•  Уравнение движения по осям Ох и Оу:

 

 

 

 

• Движение тела, брошенного под углом к горизонту, также можно разложить на два независимых движения: равномерное прямолинейное, происходящее в горизонтальном направлении с начальной скоростью v0х = v0·Cosα и свободное падение с начальной скоростью v0у = v0·Sinα, где α - угол между направлениями вектора скорости υ0 и осью Ох. Траекторией такого движения является парабола. Уравнения движения примут вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Равнопеременное движение  точки по окружности

 

 

 

 

 

 

• Движение по окружности является простейшим примером криволинейного движения. Скорость υ движения по окружности называется линейной (окружной) скоростью. При равномерном движении по окружности модуль мгновенной скорости материальной точки с течением времени не изменяется. Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.

 

 

 

 

Нормальное ускорение

 

• Тангенциальное ускорение при равномерном движении точки по окружности отсутствует  a(τ). Изменение вектора скорости υ по направлению характеризуется нормальным ускорением a(n), которое называется также центростремительным ускорением.

 

 

 

 

• В каждой точке траектории вектор a(n) направлен по радиусу к центру окружности, а его модуль равен:

 

 

 

 

• При описании механического движения, в частности движения по окружности, наряду с прямоугольной декартовой системой координат используется полярная система координат. Положение точки М на какой-то плоскости (например, ХОУ) определяется двумя полярными координатами: модулем r радиуса вектора точки и углом φ - угловой координатой, или полярным углом

 

Полярная система координат

 

 

 

 

• Угол φ отсчитывается от оси ОХ до радиуса-вектора r против часовой стрелки. Точку О в этом случае называют полюсом системы координат. Совместим полюс координат системы с центром окружности, по которой движется материальная точка; тогда r = R, а изменение положения точки на окружности может быть охарактеризовано изменением ∆φ угловой координаты точки: ∆φ = φ2 -φ1.
• Угол ∆φ называется углом поворота радиуса - вектора точки. Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматриваются как векторы.

 

 

 

 

• Cредней угловой скоростью движения точки по окружности вокруг оси называется величина ωcp, равная отношению угла поворота ∆φ радиус-вектора точки за промежуток времени ∆t к длительности этого промежутка:
• Угловой скоростью (мгновенной угловой скоростью) ω называется предел, к которому стремится средняя угловая скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени ∆t, или первая производная от угла поворота по времени:

 

 

 

 

 

• Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и dφ

 

 

 

 

• При равномерном движении точки по окружности за любые равные промежутки времени углы поворота ее радиус-вектора одинаковы. Следовательно, при таком движении мгновенная угловая скорость равна средней угловой скорости: ω = ωcp. Угол поворота ∆ω радиус-вектора точки, равномерно движущейся по окружности, равен:

 

 

 

 

Период и частота обращения

 

• Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает один полный оборот по окружности, называется периодом обращения (периодом вращения), а величина, обратная периоду, называется частотой обращения (частотой вращения). За один период угол поворота радиус-вектора точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда T = 2π/ω, или ω = 2π/Т = 2πν.

 

 

 

 

 Связь линейной и угловой скоростей

 

• Линейная υ и угловая ω скорости связаны соотношением: υ = ω·R. Это видно из следующего вывода:

 

 

 

 

8.Вращательное движение  абсолютно твердого тела вокруг  неподвижной оси

 

 

 

 

• Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те же величины (и уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси за промежуток времени ∆t углы поворота радиус-векторов различных точек тела одинаковы. Угол поворота ∆φ, средняя ωcp и мгновенная ω угловые скорости характеризуют вращательное движение всего абсолютно твердого тела в целом.