Кристаллография

 

Рост кристаллов

 

 

 

 

 

Элементы симметрии  кристаллов

 

пример, венчики цветов, крылья бабочек, снежные звездочки. Человечество издавна пользовалось понятием о симметрии, применяя его  в самых разнообразных областях своей деятельности. Однако математическая разработка учения о симметрии была осуществлена лишь во второй половине восемнадцатого столетия.

Центр симметрии (инверсии)

 

 

 

Плоскость симметрии

 

 

 

Ось симметрии

 

 

Для кристаллических многогранников существуют оси симметрии 1, 2, 3, 4 и 6 порядков. Оси симметрии пятого и выше шестого порядка отсутствуют в кристаллических многогранниках

 

 

Инверсионные  оси

 

 

 

 

 

 

На рисунке 56 приведен пример кристалла с инверсионной осью четвертого порядка.

 

 

Рисунок 56 - Пример кристалла с инверсионной осью

четвертого порядка

 

 

 

Символы узлов, направлений, плоскостей

При обозначении узлов и  направлений в кристаллической решетке координаты любого узла решетки можно выразить как x=m×a, y=n×b, z=p×c, где a, b, c - параметры решетки, m, n, p - целые или дробные числа. Если за единицы измерения длин принять параметры решетки, то координатами  узла будут просто целые или дробные числа m, n, p. Эти числа называют индексами узла и записывают следующим образом:  [[mnp]] (рис. 1.8, а).

Для описания направления в кристалле выбирается прямая, проходящая через начало координат. Ее направление однозначно определяется индексами  [[mnp]]  первого узла, через который она проходит (рис. 1.8, а). Поэтому индексы узла одновременно являются и индексами направления. Индексы направления обозначаются так: [mnp]. Строго говоря, указанные индексы определяют целое семейство физически эквивалентных направлений в кристалле, получаемых циклической перестановкой значений индексов m, n, p. Индексы эквивалентных направлений обозначаются <mnp>. Отметим, что если в символах узлов могут применяться дробные индексы, то для символов направлений и плоскостей используются только целочисленные индексы.

Для обозначения индексов плоскостей используются индексы Миллера, которые находятся следующим образом: выражают отрезки H, K, L, которые плоскость отсекает на осях решетки (рис. 1.8, б), в осевых единицах H=m,  K=n, L=p, где m, n, p - целые числа (координаты узлов), не равные нулю. Записывают величины, обратные этим отрезкам, 1/m, 1/n, 1/p. Находят наименьшее целое общее кратное (НОК) чисел m, n, p. Пусть НОК=d. В этом случае индексами Миллера  плоскости будут являться целые числа h=d/m, k=d/n, l=d/p,  которые записываются так: (hkl).

Например, пусть для некоторой плоскости m=1, n=4, p=2. Тогда d=4 и, следовательно, индексы Миллера этой плоскости равны: h=4, k=1, l=2, то есть (hkl)=(412). Индексы Миллера для значений m, n или р, равных бесконечности (случай, когда плоскость параллельна одной или двум осям координат), принимаются равными нулю. Например, для значений  m=3, n= , p=   индексы Миллера данной плоскости равны (100).

Так же, как и индексы  направлений,  индексы  Миллера  определяют не одну плоскость, а целое семейство плоскостей. Совокупность физически эквивалентных плоскостей, например всех шести граней куба, обозначают {hkl}. В качестве примера на рис. 1.9 приведены обозначения основных плоскостей и направлений в кубической  и гексагональной решетках. В кубической решетке (рис. 1.9, а- в) индексы плоскости совпадают с индексами направления, перпендикулярного этой плоскости.

Для удобства описания гексагональной решетки часто к трехосной системе координат добавляют четвертую координатную ось u, которая составляет равные углы (120^o) с осями x и y и перпендикулярна гексагональной оси z (рис. 1.9, г). В получившейся четырехосной системе координат (x, y, u, z) каждая из граней элементарной гексагональной ячейки пересекает по две координатные оси, отсекая от них одинаковые отрезки. Проекции узловых точек на оси координат x, y, u, z могут представлять собой дробные или отрицательные числа.

После приведения к общему знаменателю числители полученных дробей являются индексами направления. В качестве примера на рис. 1.9, г приведены индексы координатных осей x, y, u. Значения индекса, меньше нуля, отмечены знаком инверсии над соответствующим индексом. Например, координаты узла B, лежащего на оси y (рис. 1.9, г) равны  [[-1/2, 1, -1/2, 0]]. Следовательно, индексы направления, совпадающего с осью y, равны . Индексы направлений координатных осей х и u равны и соответственно.

 

 

 

 

Кристаллографические  категории.

 

 

Кристаллографические  сингонии

 

 

Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими сходными элементами симметрии при одинаковом числе единичных направлений. Сингония – это классификационное подразделение кристаллов по признаку симметрии элементарной ячейки кристалла.

Три категории  принято делить на семь сингоний. В  сингонии объединяют те кристаллы, для  которых одинакова КСК и одинакова симметрия элементарных ячеек решетки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14 типов кристаллических  решеток Бравэ

 

БРАВЕ́ РЕШЕТКИ, 14 трехмерных геометрических решеток, характеризующих все возможные  типы трансляционной симметрии кристаллов. Браве решетки образуются действием операции переноса (трансляции) на любую точку кристалла.

О. Браве в 1848 показал, что все многообразие кристаллических структур можно  описать с помощью 14 типов решеток, отличающихся формами элементарных ячеек и симметрией и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний. Эти решетки были названы решетками Браве.

Решетки Браве  различаются симметрией элементарной ячейки, т. е. соотношением между ее ребрами и углами, а также центрированностью.

Для выбора ячейки Браве используют три условия:

- симметрия  элементарной ячейки должна соответствовать  симметрии кристалла, точнее наиболее  высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл. Ребра элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки;

- элементарная  ячейка должна содержать максимально  возможное число прямых углов  или равных углов и равных  ребер;

- элементарная  ячейка должна иметь минимальный  объем.

По характеру взаимного  расположения основных трансляций или расположению узлов все кристаллические решетки разбиваются на четыре типа: примитивные (Р), базоцентрированные (С), объемно-центрированные (I), гранецентрированные (F).

В примитивной Р-ячейке узлы решетки располагаются только по вершинам ячейки, в объемно-центрированной I-ячейке — один узел в центре ячейки, в гранецентрированной F-ячейке — по одному узлу в центре каждой грани, в базоцентрированной С-ячейке — по одному узлу в центрах пары параллельных граней.

Совокупность координат  узлов, входящих в элементарную ячейку, называется базисом ячейки. Всю кристаллическую структуру можно получить, повторяя узлы базиса совокупностью трансляций ячейки Браве.

Для некоторых сингоний элементарная ячейка может содержать  узлы не только в углах, но и в  центре ячейки, всех или некоторых граней. При этом возможен трансляционный перенос не только на периоды элементарной ячейки, но и на половины диагоналей граней ячейки или пространственных диагоналей. Кроме обязательной трансляционной инвариантности, решетка может переходить в себя при других преобразованиях, к которым относятся повороты, отражения и инверсии. Именно эти дополнительные симметрии определяют тип решетки Браве и отличают ее от других.

Типы решеток Браве:

- кубические: примитивная,  объемно-центрированная и гранецентрированная;

- гексагональная, тригональная;

- тетрагональные: примитивная  и объемно-централизованная;

- ромбические: примитивная,  базо-, объемно- и гранецентрированные;

- моноклинные: примитивная  и базоцентрированная;