Критерий согласия Колмогорова-Смирнова

Кафедра: биостатистики.

 

 

СРС

На тему:

Критерий  согласия Колмогорова-Смирнова.

 

 

Выполнила: студентка 3 курса,

Группы ОМ -33-2

Шижаева Елена

 

 

 

Алматы, 2012 г.

План:

 

• Введение.
• Критерий согласия Колмогорова
• Распределение эмпирических и теоретических частот, плотности вероятности теоретического распределения
• Пример.
• Заключение.
• Список литературы.

 

2

Введение.

 

 Критерием согласия называют критерий, который позволяет установить, является ли расхождение эмпирического и теоретического распределений случайным или значимым, т. е. согласуются ли данные наблюдений с выдвинутой статистической гипотезой или не согласуются.  Распределение генеральной совокупности, которое она имеет в силу выдвинутой гипотезы, называют теоретическим.

 Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда  гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду.

Эмпирические  частоты получают в результате наблюдения. Теоретические частоты рассчитывают по формулам.

 

 

3

Критерий согласия Колмогорова

 

Критерий Колмогорова  основан на определении максимального  расхождения между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами:

 

 

   

 

где D и d – соответственно, максимальная разность между накопленными частотами  и накопленными частостями  эмпирического и теоретического распределений.

 

4

По таблице распределения статистики Колмогорова определяют вероятность, которая может изменяться от 0 до 1. При Р(λ)=1- происходит полное совпадение частот, Р(λ)=0 – полное расхождение. Если величина вероятности Р значительна по отношению к найденной величине λ, то можно предположить, что расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями несущественны, т. е. носят случайный характер.

Основное условие использования критерия Колмогорова – достаточно большое число наблюдений.

 

5

Данный критерий также позволяет оценить существенность различий между двумя выборками, в том числе возможно его применение для сравнения эмпирического распределения с теоретическим.

         Критерий позволяет найти точку,  в которой сумма накопленных  частот расхождений между двумя  распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого  расхождения. Нулевая гипотеза H0={различия  между двумя распределениями  недостоверны (судя по точке максимального  накопленного расхождения между  ними)}.

    Схематично алгоритм  применения критерия Колмогорова-Смирнова  можно представить следующим  образом:

 

6

7

Ограничимся описанием того, как критерий Колмогорова (λ) применяется при проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Выравнивание фактического распределения по кривой нормального распределения состоит из нескольких этапов:

 

• Сравнивают фактические и теоретические частоты.
• По фактическим данным определяют теоретические частоты кривой нормального распределения, которая является функцией нормированного отклонения.
• Проверяют на сколько распределение признака соответствует нормальному.

 

8

9

• Для IV колонки таблицы:

 

• В MS Excel нормированное отклонение (t) рассчитывается с помощью функции НОРМАЛИЗАЦИЯ. Необходимо выделить диапазон свободных ячеек по количеству вариант (строк электронной таблицы). Не снимая выделения, вызвать функцию НОРМАЛИЗАЦИЯ. В появившемся диалоговом окне указать следующие ячейки, где размещены соответственно значения (Xi), средняя (X) и среднеквадратическое отклонение Ϭ. Операцию обязательно завершить одновременным нажатием клавиш Ctrl+Shift+Enter

 

•  Для V колонки таблицы:

 

• Функцию плотности вероятности нормального распределения φ(t) находим по таблице значений локальной функции Лапласа для соответствующего значения нормированного отклонения (t)

 

10

• Для VI колонки таблицы:

 

•    

 

 

 

 

• Критерий согласия Колмогорова (λ) определяется путем деления max разности между эмпирическими и теоретическими кумулятивными частотами на корень квадратный из числа наблюдений:

 

 

 

11

Критерий согласия Колмогорова (λ) определяется путем деления max разности между эмпирическими и теоретическими кумулятивными частотами на корень квадратный из числа наблюдений:

 

 

12

Распределение эмпирических и теоретических частот, плотности вероятности теоретического распределения

 

13

Пример.

 

Проиллюстрируем использование критерия Колмогорова-Смирнова на примере. При изучении творческой активности студентов были получены результаты для экспериментальных и контрольных групп (см. таблицу). Являются ли значимыми различия между контрольной и экспериментальной группами?

 

14

Вычисляем относительные частоты f, равные частному от деления частот на объём выборки, для двух имеющихся выборок. 
Далее определяем модуль разности соответствующих относительных частот для контрольной и экспериментальной выборок.

 

Уровень усвоения	Частота в экспериментальной  группе	Частота в контрольной  группе
Хороший	172 чел.	120 чел.
Приблизительный	36 чел.	49 чел.
Плохой	15 чел.	36 чел.
Объём выборки	n1=172+36+15=223	n2=120+49+36=205

 

15

В результате исходная таблица примет следующий вид:

 

Относительная частота экспериментальной  группы (fэксп)	Относительная частота контрольной  группы (fконтр)	Модуль разности частот |fэксп – fконтр|
172/223≈0.77	120/205≈0.59	0.18
36/223≈0.16	49/205≈0.24	0.08
15/223≈0.07	36/205≈0.17	0.1

 

16

Среди полученных модулей разностей относительных частот выбираем наибольший модуль, который обозначается dmax. В рассматриваемом примере 0.18>0.1>0.08, поэтому dmax=0.18.

Эмпирическое значение критерия λэмп определяется с помощью формулы:

 

 

 

Чтобы сделать вывод о схожести по рассматриваемому критерию между двумя группами, сравним экспериментальное значение критерия с его критическим значением, определяемым по специальной таблице, исходя из уровня значимости . В качестве нулевой гипотезы примем утверждение о том, что сравниваемые группы незначительно отличаются друг от друга по уровню усвоения. При этом нулевую гипотезу следует принять в том случае, если наблюдаемое значение критерия не превосходит его критического значения.

 

17

Считая, что , по таблице определяем критическое значение критерия: λкр(0,05)=1,36.

Таким образом, λэмп=1,86>1,36= λкр. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, и группы по  рассмотренному признаку отличаются существенно.   Заметим, что объёмы рассматриваемых выборок должны быть достаточно большими: n1≥50, n2≥50.

 

 

18

Заключение.

 

Применяя критерии согласия для проверки соответствия наблюдаемого (эмпирического) распределения теоретическому, следует различать проверку простых и сложных гипотез.

 Одновыборочный критерий нормальности Колмогорова-Смирнова основан на максимуме разности между кумулятивным эмпирическим распределением выборки и предполагаемым (теоретическим) кумулятивным  распределением. Если D статистика Колмогорова-Смирнова значима, то гипотеза о том, что соответствующее распределение нормально, должна быть отвергнута.

 

 

19

Список литературы:

 

• Гланц С. Медико-биологическая статистика – М.:Практика,1999.
• Интернет сайт: http://matstats.ru.
• Интернет сайт: http://helpstat.ru.

 

20