Неинерциальные системы отсчета

Введение.

Неинерциальные  системы отсчета

 

Неинерциальными называют такие  системы отсчета, в которых не выполняются законы Ньютона. Не выполняется  закон инерции, ибо в таких  системах отсчета тело, на которое  не действуют другие тела, не сохраняет  своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения. Не выполняется  второй закон Ньютона, так как  тело может иметь ускорение, не испытывая  действия со стороны другого тела. Наконец, не выполняется и третий закон Ньютона, ибо тело, испытывая  действие некоторой силы инерции, не оказывает противодействия (нет  тела, к которому должно быть приложено  это противодействие). Системы отсчета, движущиеся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, являются инерциальными. Неинерциальными же будут все те системы отсчета, которые движутся с ускорением относительно какой-либо инерциальной системы. Различают два вида неинерциальных систем отсчета: системы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета поступательно с постоянным или переменным ускорением, и системы, вращающиеся с постоянной или переменной угловой скоростью относительно некоторого центра или некоторой оси. Произвольное движение системы всегда можно представить в виде суммы указанных двух движений.

 

1. Силы инерции.

Сила инерции (также инерционная  сила) — термин, широко применяемый  в различных значениях в точных науках, а также в философии, истории, публицистике и художественной литературе. В точных науках сила инерции обычно представляет собой понятие, привлекаемое в целях удобства при рассмотрении движения материальных тел в неинерциальной системе отсчёта. Частными случаями такой силы инерции являются центробежная сила и сила Кориолиса. Кроме того, силу инерции применяют для формальной возможности записывать уравнения динамики как более простые уравнения статики. Кроме названия, все значения термина объединяет также векторная величина. Она равна произведению массы тела на его ускорение и направлена противоположно ускорению. Краткие определения силы инерции иногда отражают это общее свойство всех значений термина: Векторная величина, равная произведению массы материальной точки на её ускорение и направленная противоположно ускорению, называется силой инерции.

Многообразие названий объясняется  тем, что термин «сила инерции» применяется  для описания трёх различных сил:

1. силы, которую удобно ввести при описании движения тела в неинерционной системе отсчёта («переносная сила инерции», «эйлерова сила инерции»);
2. силы-противодействия из третьего закона Ньютона («ньютонова сила инерции»);
3. фиктивной силы, применяющейся в принципе Д’Аламбера («даламберова сила инерции»).

В результате многозначности термина «возникла путаница, которая  продолжается и по сей день, и ведутся непрекращаюшиеся споры о том, реальны или нереальны (фиктивны) силы инерции и имеют ли они противодействие».

Ньютоновы силы инерции. Некоторые авторы используют термин «сила инерции» для обозначения силы-противодействия из третьего закона Ньютона. Понятие было введено Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии». Для обозначения этой силы-противодействия некоторые авторы предлагают использовать термин «ньютонова сила инерции» во избежание путаницы с фиктивными силами, применяемыми при вычислениях в неинерциальных системах отсчёта и при использовании принципа д’Аламбера. Отголоском ньютоновского выбора слова «сопротивление» для описания инерции является также представление о некоей силе, якобы реализующей это свойство в форме сопротивления изменениям параметров движения. «Произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции)» . Так как F=ma (a — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то .

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными.

Д’Аламберовы силы инерции. В принципе д’Аламбера в рассмотрение вводятся подлинно отсутствующие в природе силы инерции, которые невозможно измерить никакой физической аппаратурой. Эти силы вводятся ради использования искусственного математического приёма, основанного на применении принципа Д’Аламбера в формулировке Лагранжа, где задача на движение с помощью введения сил инерции формально сводится к проблеме равновесия.

Реальные и фиктивные  силы:

В литературе также употребляются  термины «фиктивные» и «реальные» силы. Разные авторы вкладывают в эти слова разный смысл:

- у одних авторов реальные силы — это силы, с которыми одно тело непосредственно действует на другое (контактные силы) или силы взаимодействия тела с полями, а фиктивные — те, для которых источник силы указать невозможно;

- у других авторов реальные силы — это силы, которые совершают работу, а фиктивные — те, которые работы не совершают;

- в некоторых источниках реальные и фиктивные силы употребляются только в контексте принципа д’Аламбера, при этом реальными называются приложенные силы и силы реакции опор, а фиктивными — силы инерции.

В зависимости от избранного определения, силы инерции оказываются  реальными или фиктивными. В кругах физиков просматривается тенденция присоединять эпитет «фиктивная» к силам инерции любого типа.

 

 

2. Цетробежная сила

Центробе́жная си́ла — сила инерции, которую вводят во вращающейся (неинерциальной) системе отсчёта (чтобы применять законы Ньютона¹, рассчитанные только на инерциальные СО) и которая направлена от оси, вокруг которой происходит вращение тела — или — в двумерном случае — от центра вращения (отсюда и название).

Также центробежной силой, особенно в технической литературе, называют силу, действующую со стороны движущегося  по круговой траектории тела на вызывающие это вращение связи, равная по модулю центростремительной силе и всегда направленная в противоположную ей сторону.

Физический смысл

Для того чтобы тело двигалось  с центростремительным ускорением по окружности, необходимо приложение к телу центростремительной силы, равной , где — центростремительное ускорение.

В этом случае сила, действующая на связь будет иметь право называться центробежной силой. Тогда, по третьему закону Ньютона:

= .

В инерциальных системах отсчёта  действует закон инерции, то есть, в отсутствии действующих на него сил каждое тело движется по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть причину поворота тела, то станет ясно, что для его осуществления требуется придавать телу ускорение, изменяющее направление движения тела, что достигается приложением к нему силы, направление которой не совпадает с касательной к его траектории. Тогда поворот будет происходить под действием той составляющей этой силы, которая будет направлена перпендикулярно к касательной траектории, которая и будет центростремительной силой в самом общем случае движения по любой траектории.

В общем случае центр поворота не лежит на направлении действующей  на тело силы, вызывающей отклонение движения от прямолинейного. Так, например, при движении Земли вокруг Солнца по своей эллиптической орбите центростремительная сила совпадает по направлению с действующей на Землю силой взаимного тяготения Земли и Солнца лишь в апогее и перигее.

Направление действия связи  при движении по любой траектории, отличающейся от круговой, в общем  случае не совпадает с направлением силы центростремительной, понимаемой, как нормальная составляющая действующей на тело силы.

В случае реального орбитального движения единственной силой, действующей  на Землю, является сила тяготения. В  таком случае называть, как это  имеет место при движении по окружности, силу, действующую на связь, силой  центробежной неверно, поскольку в  общем случае мгновенный центр поворота тела по дуге окружности, которой аппроксимируется траектория в каждой её точке, не совпадает с началом вектора силы, вызывающей движение. Поэтому некоторые физики вообще избегают использовать термин «центробежная сила», как ненужный. Что касается составляющей силы связи, направленной по касательной траектории, то, она будет изменять скорость движения по ней.

 

 

 

Формулировка

Обычно понятие центробежной силы используется в рамках классической (Ньютоновской) механики, в каковых остается основная часть данной статьи (хотя обобщение этого понятия и может быть в некоторых случаях достаточно легко получено для релятивистской механики).

По определению центробежной силой называется сила инерции (то есть в общем случае — часть полной силы инерции) в неинерциальной системе отсчета, не зависящая от скорости движения материальной точки в этой системе отсчета, а также не зависящая от ускорений (линейных или угловых) самой этой системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.

Для материальной точки центробежная сила выражается формулой:

 где: 

— центробежная сила приложенная к телу,

— масса тела,

— угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта относительно лабораторной (направление вектора угловой  скорости определяется по правилу буравчика²),

-  радиус-вектор тела во вращающейся  системе координат. 

Эквивалентное выражение  для центробежной силы можно записать как если использовать обозначение   для вектора, перпендикулярного оси вращения и проведенного от нее к данной материальной точке.

Центробежная сила для  тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием  центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые  мы мысленно разбиваем конечное тело.

 

 

 

 

 

3. Сила Кориолиса.

Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения. Названа по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые её описавшего. Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 году, Гауссом в 1803 году и Эйлером в 1765 году.

Причина появления силы Кориолиса  — в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Для того чтобы тело двигалось  с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной F = ma, где a — кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности . Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции — центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся  от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки  — то вправо.

Математическое  определение

Сила Кориолиса равна: , где 

— точечная масса,  — вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта,  — вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения. Величина  называется кориолисовым ускорением.

Правило Жуковского. Н. Е. Жуковским была предложена удобная для практического использования словесная формулировка определения силы Кориолиса: Ускорение кориолиса  можно получить, спроецировав вектор скорости материальной точки в неинерциальной системе отсчёта на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости неинерциальной системы отсчёта, увеличив полученную проекцию в раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.

Кориолисова сила при этом равна .

Физический смысл

 

Пусть тело движется со скоростью  вдоль прямой к центру вращения инерциальной системы отсчёта.

 

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения  и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с  движущейся точкой.

 

Как мы знаем, эта скорость движения равна 

 

Данное изменение будет  равно:

 

 

 

Проведя дифференцирование  по времени, получим  (направление  данного ускорения перпендикулярно  и ).

 

С другой стороны, вектор , оставшись неподвижным относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол ωdt. Или приращение скорости будет

 

 при  соответственно второе ускорение будет:

 

 

 

Общее ускорение будет  Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости  Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся  Тем не менее, ускорение не равно нулю.

 

Если тело движется перпендикулярно  направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора  скорости останется  а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Сила Кориолиса  в природе

Сила Кориолиса, вызванная  вращением Земли, может быть замечена при наблюдении за движением маятника Фуко. Кроме того, сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы. В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов. Если бы рельсы были бы идеальными, то при движении железнодорожных составов с севера на юг и с юга на север, под воздействием силы Кориолиса один рельс изнашивался бы сильнее, чем второй. В северном полушарии больше изнашивается правый, а в южном левый. Силу Кориолиса необходимо учитывать при рассмотрении планетарных движений воды в океане. Она является причиной возникновения гироскопических волн. При идеальных условиях сила Кориолиса определяет направление закручивания воды например, при сливе в раковине. Однако идеальные условия трудно достижимы. Поэтому феномен «обратного закручивания воды при стоке» является скорее околонаучной шуткой.