Практическая работа по "Теории упругости и пластичности"

Главные деформации перенумеровываются согласно условию (1.18):

Главные деформации можно также  вычислить по формулам (1.20) через  главные напряжения:

              ,

              ,

,

или

                 ,

                 ,

.

Результаты вычислений совпали  в пределах принятой точности расчетов. Окончательно

11.   Октаэдрический сдвиг вычисляется через главные деформации по формуле (1.21):

или через октаэдрическое касательное  напряжение по формуле (1.22):

Результаты совпали в пределах принятой точности вычислений.

 

Главные сдвиги по (1.23):

 

 

 

Соотношение октаэдрического сдвига и максимального сдвига

результат совпадает с отношением

 

ЗАДАЧА 2. Пространственное напряженное состояние в точке тела

 

Условие. В некоторой частице тела (массива, сооружения, грунтового основания, в зоне контактных местных напряжений и т.д.) определены компоненты напряженного состояния, характеризуемые тензором напряжений

.                                      (2.1)

 

Значения напряжений даны в таблице 1.1 в соответствии с номером варианта.

 

Требуется:

 

1. Графически изобразить компоненты тензора на гранях малого элемента тела с учетом их фактических направлений.
2. Определить среднее напряжение по формуле (1.8) и разложить тензор напряжений на шаровой тензор и девиатор напряжений по (1.9).
3. Определить октаэдрическое касательное напряжение

,      (2.1)

модуль тензора-девиатора напряжений

     (2.2)

интенсивность напряжений

        (2.3)

4. Найти главные значения тензора-девиатора напряжений и главные напряжения

                            (2.4)

Угол φ определяется из формулы

                                                                 (2.5)

где

     (2.6)

- определитель матрицы тензора-девиатора  напряжений.

5. Пользуясь экспериментальными данными табл. 1.2 установить, в каком состоянии (упругом, упругопластическом) находится частица тела согласно условиям пластичности Сен-Венана и Мизеса.

 

ПРИМЕР  ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 2

 

1. Компоненты напряженного состояния заданы тензором (2.1)

    (МПа).

Компоненты тензора напряжений графически показаны на рис. 2.1.

 

Рис. 2.1. Пространственное напряженное состояние в точке  тела

 

2. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор напряжений выполняется по формуле (1.9), где среднее напряжение находится по формуле (1.8):

.

3. Октаэдрическое касательное напряжение, модуль девиатора и интенсивность напряжений вычисляются по формулам (2.1) – (2.3):

 

 

4. Определитель, составленный из компонент тензора-девиатора, вычисляется по формуле (2.6):

Косинус угла находится по формуле (2. 5):

отсюда определяется угол :

Главные нзначения тензора-девиатора  вычисляются по формулам (2.4):

Главные напряжения тензора напряжений на основании формул (2.4) имеют значения

 

5. В задаче 1 определен предел пропорциональности .  Для условия Сен-Венана разность главных напряжений

.

Для условия пластичности Мизеса интенсивность  напряжений

.

Следовательно, материал находится  в упругопластическом состоянии. Необходимо иметь в виду, что если интенсивность напряжений превысит предел прочности, то материал в данной точке разрушится.

 

ЗАДАЧА 3. РЕШЕНИЕ Плоской задачи теории упругости  обратным  методом

 

Условие. На гранях балки-стенки (рис. 3.1) длиной , высотой и единичной толщины действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщине. Объемными силами пренебрегаем. Функция напряжений задана в таблице 3.1 в соответствии с номером варианта.

 

Рис. 3.1

 

Таблица 3.1

Исходные данные к задаче 3

 

№ вар.		№ вар.
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		29
14		29
15		30

 

Требуется:

 

1. Проверить, является ли заданная функция напряжений решением плоской задачи теории упругости.
2. Найти выражения для напряжений.
3. Определить, какой внешней нагрузке на гранях балки-стенки соответствует заданная функция напряжений. Нагрузки на гранях балки-стенки показать в виде эпюр.
4. Провести проверку равновесия балки-стенки.

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ  3

 

Для балки-стенки, находящейся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 3.2) функция напряжений задана в виде

.

 

 

Рис. 3.2

 

1. Проверим существование  заданной функции напряжений.

  

 

    

Подстановка полученных значений производных в бигармоническое  уравнение

даёт тождество , значит заданная функция напряжений может быть принята в качестве решения плоской задачи.

2. Определение напряжений. С учетом того, что объемные  силы  получим

3. Для определения  проекций на координатные оси  внешней распределенной нагрузки используем статические граничные условия:

                                                    (1)

где , . Положительными направлениями , считаются такие, которые совпадают с положительными направлениями соответствующих координатных осей (рис. 3.2).

Грань АВ. Геометрическое уравнение грани , (рис. 3.2).

Направляющие косинусы для грани

; 

С учетом уравнения грани выражения для напряжений примут вид

Нагрузки на грани по (1):

Эпюра вдоль оси представляет собой квадратную параболу. Построим её по трём точкам.

При ;

при ;

при .

Определим равнодействующую нагрузки на грани АВ:

.

Грань ВС. Геометрическое уравнение грани , (рис. 3.2).

Направляющие косинусы для грани

 

Выражения для напряжений с учетом уравнения грани

Нагрузки на грани ВС по (1):

Эпюра вдоль оси изменяется линейно, для её построения достаточно двух точек.

При ,

при 

Равнодействующая нагрузки на грани ВС будет равна

Эпюра вдоль оси на грани ВС постоянна, равнодействующая этой нагрузки приложена в точке с координатой и равна

Грань СD.  Геометрическое уравнение грани , (рис. 3.2).

Направляющие косинусы

 

Напряжения

Нагрузки на грани по (1):

.

Эпюра вдоль оси представляет собой прямую линию.

При  

при

Определим равнодействующую нагрузки :

Момент создаваемый  нагрузкой  на грани СD равен

тогда расстояние от оси до точки приложения равнодействующей будет равно

Эпюра вдоль оси представляет собой квадратную параболу. Построим её по трём точкам.

При

при

при

Равнодействующая 

Грань АD. Геометрическое уравнение грани , (рис. 3.2).

 

Напряжения, с учетом уравнения грани

Нагрузки на грани  по (1):

Эпюра нагрузки вдоль оси прямолинейна. Для её построения достаточно двух точек.

При

при

Равнодействующая нагрузки на грани АD

По полученным данным нагрузок на гранях строим их эпюры  
(рис. 3.3) и схему действия равнодействующих сил на гранях балки-стенки (рис. 3.4).

 

4. Проверим равновесие балки-стенки (рис. 3.4).

       ;

       ;

   

                       

Уравнения равновесия тождественно удовлетворяются, следовательно, балка-стенка находится в равновесии.

Рис. 3.3. Эпюры  распределения проекций внешней нагрузки  
на координатные оси, действующей на гранях балки-стенки

 

 

 

 

Рис. 3.4. Равнодействующие силы на гранях балки-стенки

 

 

 

Приложение

 

Часто встречающиеся  интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М: Высшая школа, 1982. - 264 с.
2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Издательство Наука, 1975. - 576 с.