Расчет неразветвленной цепи переменного тока

Расчет неразветвленной цепи переменного тока.

Задача.

Расчет неразветвленной цепи с  активным,   индуктивным и  емкостным  сопротивлением.

Дано:

Е = 100 В - идеальный источник ЭДС

R = 50 Ом;

L = 96 мГн;

С = 159 мкФ.

Найти:

• Ток в цепи;
• Напряжение на активном, индуктивном и емкостном сопротивлении;
• Составить баланс мощности;
• Построить векторную диаграмму ;
• Какую нужно поставить емкость, чтобы цепь потребляла только активную мощность (т. е. соsα = 1).

 

                                      Решение.

1. Находим индуктивное сопротивление катушки индуктивности:

X_L = 2πfL = 2*3,14*50*0,096 = 30 Ом            ( В системе СИ    L = 96 мГн = 0,096 Гн)

2. Находим емкостное сопротивление конденсатора:

X_C = 1/2πfC = 1/ (2*3,14*50*159*10^-6) = 20 Ом      ( 159 мкФ = 159 *10^-6 Ф )

3. Найдем ток в цепи по закону Ома:

         I = Е/Z = 100/51 = 1,96 А

Z = =  ≈ 51 Ом

4. Найдем падение напряжения на отдельных участках  цепи по закону Ома:

U_R= U_1-3 = I*R =  1,96*50 = 98 В  --падение напряжения  на активном сопротивлении.

U_L = U_3-4 =  I*X_L = 1,96*30 = 58,8 В -  падение напряжения  на индуктивном сопротивлении.

 U_C = U_4-2 = I*X_C   = 1,96*20 = 39,2 B - падение напряжения  на емкостном сопротивлении.

 

 

По второму закону Кирхгофа в любой замкнутой цепи геометрическая сумма векторов ЭДС равна геометрической сумме векторов напряжений на отдельных участках цепи, т. е.

Ē = Ū_R + Ū_L + Ū_{C  ,}         Ē = Ū_1-2   , т.к.  источник ЭДС идеальный.

5. Баланс мощности:

По закону сохранения энергии   S_ист. =  S_пот

S_ист. = Е* I = 100*1,96 = 196 ВА

S_пот = = = 196 ВА

Р = I²*R = 1,96²*50 = 192 Вт

Q_L = I²*X_L = 1,96²*30 = 115 ВАр

Q_С = I²*X_С = 1,96²*20 = 77 Вар

S_пот = I² *Z = 1,96²*51 = 196 ВА  - второй способ          

 

6. Построение векторной диаграммы:

Определим   угол сдвига фаз между током и  приложенным напряжением

 Cos α = R/Z = 50/51 = 0,98

α = 11⁰

• Выбираем масштаб по току:      М_I = 0,25 А / см
• Выбираем масштаб по напряжению:       М_U = 10 B /см

 

 

 

 

 

Откладываем по горизонтали вектор тока  Ī =  1,96 А   :  0,25(А/см) = 7,84 см,   

а под углом  α = 11⁰  откладываем вектор  Ē = Ū_1-2   =   100 В :  10 В/см  =   10 см, получили векторную диаграмму, в которой показан вектор тока, вектор приложенного к цепи напряжения и угол сдвига фаз между ними.  

 

7. Построение  векторной диаграммы с  учетом напряжений на активном, индуктивном  и емкостном сопротивлении:

• Откладываем вектор напряжения на активном сопротивлении 

 Ū_R = Ū_1-2 =  98 В →   98 В : 10 (В/см)= 9,8см

Так как ток и напряжение на активном сопротивлении совпадают по фазе, то  Ū_R откладываем по направлению тока.

Откладываем вектор Ū_L = 58,8 В → 58,8 В : 10 (В /см)= 5,88см из точки конца вектора Ū_R.

Так как напряжение на катушке индуктивности опережает ток на 90⁰, то вектор  индуктивного напряжения  откладываем перпендикулярно вверх.

Откладываем из точки конца  вектора Ū_L вниз вектор Ū_C = 39,2 В → 39,2 В /10 (В/см)= 3,92 см.

Вектор  емкостного напряжения отстает от вектора тока на 90⁰

• Точку 0 соединяем с концом вектора Ū_C ,  получаем искомый вектор напряжения

Ū_1-2 =  10см.    U_1-2  = 10 см * 10 (В/см)  = 100 В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

8. Чтобы цепь потребляла только активную мощность (соsα = 1), должно выполняться

равенство индуктивной и емкостной мощностей Q_C = Q_L,.     Цепь будет носить активный характер при условии        X_c = X_c = 30 Ом,   тогда:

С = 1/2πfX_C = 1/*2*3,14*50*30 = 106*10^-6 Ф =  106 мкФ.

Для получения в цепи соsα = 1  необходимо поставить емкость С = 106 мкФ.